研究生结构工程弹塑性力学课件 CH9

第九章 塑性本构关系§9-1 建立塑性本构关系的基本要素 §9-2 弹性本构关系 §9-3 全量理论 §9-4 刚塑性材料的增量理论 §9-5 弹塑性材料的增量理论 *§9-6 塑性势理论 § *§9-7 岩土力学中的库伦剪破条件和流动法 § 则

塑性本构关系在塑性变形中，应力不但与应变有关，还与变 形历史过程以及物质微观结构的变形有关。因此， 常将此时的应力应变关系称为本构关系，这样更能 反映物质本性的变化。塑性力学与弹性力学求解方 程的区别在于物理方程，所以本构关系是塑性力学 的核心问题。 塑性本构关系就其表达形式而言，分为两个类 全量理论或形变理论;增量理论或流动理论 型:全量理论或形变理论 增量理论或流动理论 全量理论或形变理论 增量理论或流动理论. 增量理论主要有：莱维——米泽斯(Lévy增量理论 Mises)理论和普朗特——罗依斯(Prandtl-Reuss) 理论。 采用塑性势的概念，将以更一般的方法讨论塑 性本构关系。

§9-1 建立塑性本构关系的基本要素建立塑性本构关系，需要考虑三个要素： (1)初始屈服条件 初始屈服条件，根据这个条件可以判断塑性变形是从 初始屈服条件 何时开始的，以及划分塑性区和弹性区的范围，以便分别采 用不同的本构关系来分析。 (2)与初始及后继加载面相关连的某一流动法则 流动法则。也就是 流动法则 说要有一个应力和应变(或它们的增量)间的定性关系。这 个关系包括方向关系(即两者主轴之间的关系)和分配关系 (即两者的比例关系)。实际上是研究它们的偏量之间的关 系。 (3)确定一种描述材料硬化特性的硬化条件 硬化条件，亦即加载函 硬化条件 数。有了这个条件才能确定应力、应变或它们的增量间的定 量关系。上述的(1)、(3)两点已经在第八章中作了详细的介绍。本章就在讨 ( ) 论第(2)点即流动法则的基础上来建立塑性的本构关系。

§9-2 弹性本构关系 1.直角坐标形式 1.直角坐标形式 2.应力强度应变强度形式 2.应力强度应变强度形式 3.应力应变偏张量形式 3.应力应变偏张量形式

1.直角坐标形式 1.直角坐标形式1 ε x = σ x ν (σ y + σ z ) E 1 ε y = σ y ν (σ z + σ x ) E 1 ε z = σ z ν (σ x + σ y ) E

[ [ [

] ] ]

γ xy γ yz γ zx

1 = τ xy G 1 = τ yz G 1 = τ zx G

(9-1)

1 ν ε ij = σ ij σ kk δ ij 2G E

(9-1)’

2.应力强度应变强度形式 2.应力强度应变强度形式由式(9-1)’ 可以得出

σ i = 3Gε iτ i = Gγ i

(9-2) (9-3)

σ 1 σ 2 = 2G (ε 1 ε 2 )σ 2 σ 3 = 2G (ε 2 ε 3 )

σ 3 σ 1 = 2G (ε 3 ε 1 ) 1 ν ε ij = σ ij σ kk δ ij 2G E 代入应力强度

表达式 (9-1)' σ i = 2G (ε 1 ε 2 )2 + (ε 2 ε 3 )2 + (ε 3 ε 1 )2 = 3Gε iσ i = 3J 2 =1 2

(σ 1 σ 2 )

2

+ (σ 2 σ 3 ) + (σ 3 σ 1 ) (8-12)2 2

σ i = 3J 2 =

1 2

(σ 1 σ 2 )2 + (σ 2 σ 3 )2 + (σ 3 σ 1 )2

εi =

4 2 ′ J2 = 3 3

(ε 1 ε 2 )2

2

+ (ε 2 ε 3 ) + (ε 3 ε 1 )2

2

σ i = 2G (ε 1 ε 2 ) + (ε 2 ε 3 ) + (ε 3 ε 1 ) = 3Gε i2 2

3.应力应变偏张量形式 3.应力应变偏张量形式σm θ= K1 ex = Sx 2G 1 ey = Sy 2G 1 ez = Sz 2G(9-4)

E K= 3(1 2ν )

1 2v ε ii = σ ii (9-4) ′ E

γ xy γ yz γ zx

1 = τ xy G 1 = τ yz G 1 = τ zx G

1 eij = S ij 2G(9-5)

(9-5)′

2σ i S ij = eij 3ε i

(9-6)

1 2v θ= Θ E

(9-5)式中只有五个方程是独 立的，需要补充(9-4)式，才 与(9-1)式等价。

σ i = 3Gε i

增量形式为了与塑性本构关系中增量理论的公式相对 比和运用，将(9-5) ′和(9-4)式写为增 量形式：dSij = 2Gde ijdσ m = 3Kdε m(9-7) (9-8)

1 deij = dS ij 2G 1 dε m = dσ m 3K

σm θ= K

1 eij = S ij 2G

§9-3 全量理论全量理论认为应力和应变之间存在着一一对应的关 系，因而用应力和应变的终值(全量)、建立其塑 性本构方程。如果我们在简单加载的情况下考察材 料的应力应变关系，则塑性变形与非线性弹性变形 没有什么区别。所以，全量理论在本质上与非线性 弹性理论相似，都是Hooke定律的一个自然推广。 历史上，全量理论以伊柳辛 伊柳辛(A·A·ильюшин) 伊柳辛 的小弹塑性理论应用最为广泛。“小弹塑性”系为 离弹性状态不远，进入塑性状态后，其变形也是小 的。

§9-3 全量理论1.伊柳辛理论 2.全量理论的基本方程及边值问题 3. 3.简单加载定理 4.卸载定律

1.伊柳辛理论 .1943年，伊柳辛提出了一个硬化材料在弹塑 性小变形情况下的塑性本构关系，这个理论 以下列基本假设为基础： (1)体积变化是弹性的，且与平均应力σm 成正比。 (2)应变偏量与应力偏量成正比 (3)应力强度是应变强度的确定函数

(1)体积变化是弹性的(1)体积变化是弹性的，且与平均应力σm 成正比。总应变为弹性应变与塑性应变之和， 即 e p

ε ij = ε ij + ε ij

因体积变化始终是弹性的，塑性变形部分的 体积变化恒为零，即

θ =θ

e

1 σ m = Kθ或者ε m = σm 3K

(2)应变偏量与应力偏量成正比即

eij = λS ij

e j = λS j

µσ = µε

这里只是在形式上和广义Hooke定律相似，和广义 Hooke定律表达式(9-5)不同，这里的比例系数λ 比例系数λ 比例系数 不是一个常数，它和点的位置以及荷载水平有关， 不是一 …… 此处隐藏：1122字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……