信息光学07-抽样定理
时间：2026-01-19
第一章 二维线性系统分析Analysis of 2-Dimensional Linear System §1.4 抽样定理 Sampling Theorem
问题的提出: 对于一个连续的信号(模拟信号), 是否 必须连续地发送,才能传递信号所包含的全部信息? 答:为了完全描述一个频带受限制的信号(带限信号), 可以对它在离散点(时间或空间点)进行抽样. 抽样定理
若函数g (x, y) 不包括高于Bx 和By 的频率分量,则此函 数可以由一系列间隔(X, Y )等于或小于1/(2Bx)和1/(2By) 处的函数值完全决定.X, Y: 时/空域, 间隔; Bx , By :频域, 带宽
§1.4 抽样定理
1、函数的抽样将连续函数g(x,y)在间隔为X和Y的分立的空间 点上抽样, 就是与梳函数相乘的过程.抽样后的 函数系列用gs(x,y)表达: x y g s(x ,y ) comb comb g(x ,y ) X Y 上式表明,抽样后的函数gs(x,y)由间距分别为X和 Y 的d 函数阵列构成, 每个d 函数下的体积正比于该 点的函数值.g(x)comb(x/X)
gs(x)
x0
.
0
x =
x0 #
§1.4 抽样定理
1、函数的抽样：二维情形
§1.4 抽样定理 抽样函数gs(x,y)的频谱 x y g s ( x, y) comb comb g ( x, y) X Y
Gs ( f x , f y )
XY comb Xfx combYf y G( f x , f y )
x y comb comb G( f x , f y ) X Y
n m d f x , f y G( f x , f y ) X Y n m n m G f x , f y X Y n m 经过抽样后函数的频谱,是原连续函数的 频谱以间隔1/X, 1/Y重复平移并叠加.
§1.4 抽样定理 二、函数的抽样
抽样后函数gs(x,y)的频谱n m Gs(fx, fy) G f x , f y X Y n m 如果G (fx, fy)频带无限制, 则这些频谱函数必然会叠加 即使G (fx, fy)是频带有限的函数, 若X,Y取值不合适, 这些重复的 频谱函数之间也会互相重叠.1/X
Gs(fx)
01/X
fx
Gs(fx) 0 fx
只有使这些频谱函数互不重叠, 才有可 能用滤波的方法,从中提取出原函数的 频谱, 进而求出原函数.
§1.4 抽样定理 二、函数的抽样
由抽样值还原出原函数的条件n m Gs(fx, fy) n m G f x X , f y Y
G(fx) fx Bx
(1) g(x,y)是限带函数, 其频谱G (fx, fy)仅在 -Bx 0 频率平面上一个有限区域 上不为零. 2 Bx, 2 By : 带宽: 包围 的最小矩形在 fx 和 fy方向上的宽度. (2) 原函数抽样时,在x方向和y方向抽样点的间隔 Gs(fx) X 和Y不得大于1/(2 Bx)和1/(2 By),1 2 Bx , X 1 2 By Y-Bx 0 Bx
fx
则Gs中各个区域(间隔为1/X,1/Y)的频谱就不会重叠 有可能用滤波的方法,提取出原函数的频谱G, 进而求出原函
数.
1/X
§1.4 抽样定理 二、函数的抽样
由抽样值还原出原函数的条件1 2 Bx , X 1 2 By Y
则Gs中各个区域(间隔为1/X,1/Y) Gs(fx) 的频谱就不会重叠, 有可能用滤 波的方法,提取出原函数的频谱 -Bx 0 Bx fx G, 进而求出原函数. 1/X 1 1 X , Y 2Bx 2By 称为奈奎斯特(Niquest)间隔只要以小于或等于奈奎斯特间隔对g(x,y)抽样,则gs(x,y)的频 谱就是G (fx, fy)的周期性复现,包含了g(x,y)的全部信息.
§1.4 抽样定理
2、原函数的复原 理想低通滤波
为了从gs(x,y)中还原出g(x,y), 将gs(x,y)通 过一个理想低通滤波器,只允许所有频率 |fx|<Bx, |fy|<By 的频率分量无畸变地通过, 而将此区域以外的频率分量完全阻塞.此理想低通滤波器的频率 特性为频域中的门函数Gs(fx)
-Bx 0 Bx1/X
fx
§1.4 抽样定理 2、原函数的复原
理想低通滤波 fx 用频域中宽度2Bx和2By的位于原 H f x ,f y rect 2B 点的矩形函数作为滤波函数: x fy rect 2B y
滤波过程 :
fy fx G f x ,f y rect Gs f x ,f y rect 2B 2B x y
根据卷积定理，在空间域得到: x y g s x,y comb comb g x,y X Y XY n m
g s x, y h x, y g x, y
f y fx rect h x,y F rect 2B 2 B x y 4 Bx By s inc 2 Bx x sinc 2 By y g nX,m Y δ x nX,y m Y
§1.4 抽样定理 2、原函数的复原
理想低通滤波空域中等效于：
g x,y 4 Bx By XY
sinc 2 Bx x-nX sinc 2 By y m Y 若取最大允许的抽样间隔，即X =1/(2 Bx),Y=1/(2 By) ,则用函 数的抽样值计算出原函数：
n m
g nX,m Y
n m sinc 2 Bx x- n g x, y g , 2B 2B 2B n m x y x
m sinc 2 By y 2 B y
原函数在分立点上的抽样值
插值函数
插值:由抽样点函数值计算非抽样点函数值
§1.4 抽样定理 抽样和还原的图示g(x) x 0comb(x/X)
gs(x) x 0 F.T. Gs(fx)
.
0
x =
X<1/(2Bx)
?F.T. rect(fx/2Bx) F.T. G(fx)
F.T. G(fx) fx
F.T. Xcomb(Xfx)
...0 抽样
...1/X fx
-Bx 0 Bx * -1/X
= -3Bx -Bx-1/X
fx . 0 Bx1/X
3Bx
fx = fx -Bx 0 Bx -Bx 0 Bx 还原
§1.4 抽样定理 抽样和还原的图示
gs(x)x-2X -X
gs(x)x Sinc函数称为 内插函数
0X
2X
2Bxsinc(2Bx)fx
0
*01 1 2Bx 2Bx
=
频域滤波相当于 空域的插值运算
连续函数具有的信息内容等效于一系列的信息抽样.重
新恢 复连续函数所必需的离散值的最小数目由抽样定理决定.
§1.4 抽样定理 抽样和还原的图示
抽样空域 g(x,y) gs(x,y)
还原h(x,y) 低通滤波器 H(fx,fy) g(x,y)= gs(x,y …… 此处隐藏：1546字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……
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