(江苏专版)2019版高考数学一轮复习第六章数列课时达标检测(二十九)等差数列

时间：2026-01-15

（江苏专版）2019版高考数学一轮复习第六章数列课时达标检测

（二十九）等差数列及其前n 项和

1．若等差数列{a n }的前5项之和S 5＝25，且a 2＝3，则a 7＝________.

解析：由S 5＝a 2＋a 42，得25＝＋a 42，解得a 4＝7，所以7＝3＋2d ，即d

＝2，所以a 7＝a 4＋3d ＝7＋3×2＝13.

答案：13

2．在等差数列{a n }中，a 1＝0，公差d ≠0，若a m ＝a 1＋a 2＋…＋a 9，则m 的值为________．

解析：a m ＝a 1＋a 2＋…＋a 9＝9a 1＋9×82

d ＝36d ＝a 37，即m ＝37. 答案：37

3．(2018·启东中学月考)在单调递增的等差数列{a n }中，若a 3＝1，a 2a 4＝34

，则a 1＝________.

解析：由题知，a 2＋a 4＝2a 3＝2，又∵a 2a 4＝34，数列{a n }单调递增，∴a 2＝12，a 4＝32

.∴公差d ＝a 4－a 22＝12

.∴a 1＝a 2－d ＝0. 答案：0

4．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝－11，a 3＋a 7＝－6，则当S n 取最小值时，n 等于________．

解析：设等差数列{a n }的公差为d .因为a 3＋a 7＝－6，所以a 5＝－3，d ＝2，则S n ＝n 2

－12n ，故当n 等于6时S n 取得最小值．

答案：6 5．(2018·苏南四校联考)设各项均为正数的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 5a 3＝53

，则S 9

S 5

＝________. 解析：法一：各项均为正数的等差数列{a n }中，由a 5a 3＝53得a 1＋4d a 1＋2d ＝53

，∴a 1＝d ，即a n ＝d ＋(n －1)d ＝nd ，所以S n ＝nd ＋n n －

d 2＝n 2＋n 2d ，所以S 9S 5＝92＋92d 52＋52d ＝3.

法二：等差数列{a n }中，a 1＋a 9＝2a 5，a 1＋a 5＝2a 3，所以S 9

S 5

＝9

a 1＋a

a 1＋a 52＝9a 55a 3＝95×53＝3.

答案：3

[练常考题点——检验高考能力]

一、填空题

1．(2017·黄冈质检)在等差数列{a n }中，如果a 1＋a 2＝40，a 3＋a 4＝60，那么a 7＋a 8＝________.

解析：由等差数列的性质可知，a 1＋a 2，a 3＋a 4，a 5＋a 6，a 7＋a 8构成新的等差数列，于是a 7＋a 8＝(a 1＋a 2)＋(4－1)[(a 3＋a 4)－(a 1＋a 2)]＝40＋3×20＝100.

答案：100

2．(2017·江阴三校联考)已知数列{a n }的首项为3，{b n }为等差数列，且b n ＝a n ＋1－a n (n ∈N *)，若b 3＝－2，b 2＝12，则a 8＝________.

解析：设等差数列{b n }的公差为d ，则d ＝b 3－b 2＝－14，因为a n ＋1－a n ＝b n ，所以a 8－a 1＝b 1＋b 2＋…＋b 7＝

b 1＋b 72＝72

[(b 2－d )＋(b 2＋5d )]＝－112，又a 1＝3，则a 8＝－109. 答案：－109 3．在等差数列{a n }中，a 3＋a 5＋a 11＋a 17＝4，且其前n 项和为S n ，则S 17＝________. 解析：由a 3＋a 5＋a 11＋a 17＝4，得2(a 4＋a 14)＝4，即a 4＋a 14＝2，则a 1＋a 17＝2，故S 17＝a 1＋a 172

＝17.

答案：17 4．(2017·全国卷Ⅲ改编)等差数列{a n }的首项为1，公差不为0.若a 2，a 3，a 6成等比数列，则{a n }前6项的和为________．

解析：设等差数列{a n }的公差为d ，

因为a 2，a 3，a 6成等比数列，所以a 2a 6＝a 23，

即(a 1＋d )(a 1＋5d )＝(a 1＋2d )2.

又a 1＝1，所以d 2＋2d ＝0.

又d ≠0，则d ＝－2，

所以{a n }前6项的和S 6＝6×1＋6×52

×(－2)＝－24. 答案：－24

5．设数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n S 2n 为常数，则称数列{a n }为“吉祥数列”．已知等

差数列{b n }的首项为1，公差不为0，若数列{b n }为“吉祥数列”，则数列{b n }的通项公式为________．

解析：设等差数列{b n }的公差为d (d ≠0)，S n S 2n ＝k ，因为b 1＝1，则n ＋12

n (n －1)d ＝k ⎣⎢⎡⎦

⎥⎤2n ＋12×2n n －d ，即2＋(n －1)d ＝4k ＋2k (2n －1)d ，整理得(4k －1)dn ＋(2k －1)(2－d )＝0.因为对任意的正整数n 上式均成立，所以(4k －1)d ＝0，(2k －1)(2－d )＝0，解得d ＝2，k ＝14.所以数列{b n }的通项公式为b n ＝2n －1.

答案：b n ＝2n －1

6．(2018·南通模拟)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2a 4a 6a 8＝120，且

1a 4a 6a 8＋1a 2a 6a 8＋1a 2a 4a 8＋1a 2a 4a 6＝760

，则S 9的值为________．解析：由题意得1a 4a 6a 8＋1a 2a 6a 8＋1a 2a 4a 8＋1a 2a 4a 6

＝a 2120＋a 4120＋a 6120＋a 8120＝760，则2(a 2＋a 8)＝14，即a 2＋a 8＝7，所以S 9＝

a 1＋a 92＝92(a 2＋a 8)＝632

. 答案：632 7．(2018·徐州质检)在等差数列{a n }中，已知首项a 1＞0，公差d ＞0.若a 1＋a 2≤60，a 2＋a 3≤100，则5a 1＋a 5的最大值为________．

解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 2≤60，a 2＋a 3≤100，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 1＋d ≤60，2a 1＋3d ≤100.设x (2a 1＋d )＋y (2a 1＋3d )＝

6a 1＋4d ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝3，x ＋3y ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝52，y ＝12，于是⎩⎪⎨⎪⎧ 52a 1＋d ，12a 1＋3d ，两式相

加得5a 1＋a 5≤200.

答案：200 8．记等差数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 1＝2，且数列{S n }也为等差数列，则a 13＝________.

解析：设数列{a n }的公差为d .因为{S n }为等差数列，所以S 1，S 2，S 3成等差数列，从而24＋d ＝2＋6＋3d ，解得d ＝4，所以a 13＝2＋12d ＝50.