第四章 拉氏变换

拉氏变换

第四章拉氏 换 变 连及续间时系统的s 域分析 究研拉氏变的换义意：引言 研━究氏拉变换的义意：(1 是傅)叶立变换进一步的推广使某些 不足绝对可满积条的件信号也能行变进 换傅是叶变换立进的步一推广 :傅立是变换叶进的一步推 广使些某不足满绝对可积件条信的也能号行变换; (进2 )以简可 化分方微程的求 : 对微分解程两方同时进边行氏变换拉，将可其变为对 分方微程两同时进行拉氏边换， 代数变程，方而，因求使过程变得解单简； 代数程方因而，,求解使过变程得简单； 3)(利 用拉变换氏以建立可续连时系间统的“系统 函”数的概念 并，此借分该 析系函数统”的概 念 系统，的某性些能。系 的统些性某能。 §42 L.T的定 及其收义敛域一. 由 FT引 出LT 回:顾: 对可积 的绝条在某件程种度上限制FT了绝对 积可” 顾 “回对绝积”可条的件在种某程度上制了限的应 某使些重要信的号或是不在存立叶傅换变、━ 使 些某重要信号或的是不存在立傅叶换变或是、只能间接求得用 ∞ σt f t ) d(t< ∞ 容易更足满 现在。 :入引减衰因 现在子：, 条使件 容易更满足 。 则信号 ft() e t

eσ∫

的傅立叶变换：为 傅立的叶换变： (为ω )=F 有： 则则：∞

∞有若令 sσ+j=,ω ωF (s = )∫∞ ft( )e∞[F f ()te t

s σ t] = ∞ ∫ (fte edt)∞∞

σ t j tωdtd

t st

一都般是因果信号 考, 虑ft( 一般都)是因果号信此时

( F)s =∫ f0( te)

刻可时存在能冲的函数激考虑在内, 了为 把t=0 时 刻能存在的可冲激函数虑考内 在定义“单边 拉氏变正换 ”边单氏拉变换”

正 F( s) ∫=0 f(t e)

tstd

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1 F∞()eωω t jωd另 一面方按：照傅叶逆变换的立定， 义另一面：按照傅方叶逆立变换定义的有， f( t ) =e∫ ∞2 πσt1 ∞ Fω)(σet ej ωt d 得到：ω 到：得 f(t )= 乘以同e 2 ∫π∞ σ t

令 s=σ若+j, ω

ω则f( t) = jf () t称 为(F)s的 原函“”数； F而s( 称) 为(tf) “的函象”数 。 s且作“复称原函数” 象函数 称作” “频率” 频率( 单边拉氏变 换的敛收域 单边)拉:变换的收敛氏 二域.”. 拉氏变换的收敛域 单 边 σ 当t (t) ef满 绝对足积条可件2π∞

1∫ σ j ∞ (F s) e +σj∞

st

ds 1. 当

f( t =)e α t :时f (t ) e σt = e ) α(- σ) t σ t =lme(α i σ t =0要 满足 li m (f t) et →∞

用极的形限式示表就是： ,用极的限式形示表就，: l是i tm→∞f(t ) e σ t= 0

∫ ∞

f t )( e σ t dt ∞< ,时 其T才存在 才L存在σ0 > 0:

0jω

t →∞α σ <0j ωσ α>这

收 里 域

σ0 < 敛 :0σ

0σ0

σ0

σ

σ 0 =α

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2.

t 当∞→t

→∞ 这，时∴ 时这， S敛 。 S 。f (t =)t 或 2t 或t n :时 )) 见， 其敛 3 当. 2tt 2 (t0)≥: 4 . 当(ft 是比指)信数增号得长快的更号信 f 如(t ) e=或 t e 比指是数号增信得长快的更信号 ,时找不到 σ0使 lm f (i )t e σt = 成0立 故 f(t,)不 能行拉进变氏换 。成,立不 能进拉氏变行换。 →t ∞将f若(t)限制一在定时的间范围 内则可以确定其收域敛 。制限在一的时间范围定内, 但 若将, 制限一在定的时范间围 则内以确定可其收域敛。: 要满足例f ( t) = 时A:lim ft ) ( e 满足

要σt

=lmiAe t = 0σσ 0

即

σ0 >=0

e t ,2 0 ( ≤t≤ T ) f(t =) 0 , 其它( 值t )t →∞是常数

li fm t( ) e t

tσ 2 e tσ =limTe 2 e σ t= 0 , lime=t →∞t → ∞∞

只

要σ> 0常信用号拉氏变换的 :三 .常信用的拉号变氏换 1 阶.信跃 号u(t ) 2: .数函指数L [u(t ) ] ∫0 1 = e ∞

stdt=

e s ts∞

1= s 0 e

at :

Le[ at ] =∫ 0 et a e sdt t= e (s +a )t∞ s+a =1 0s a+

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3.幂函

数Lt n de s t Qt e dt = s ∞∞∞ 1 st nn [ t ]n= tn es tdt= t e st ( ) ed =t0 + 0 sn 0 s 0 s [即tn] = n [tn ]为正1整数 ) t n n( 为正数 :整n

s

∫t

∫∫0

t∞ n1 settdL

行进推递 ：行进推：递当 =n1时 ,L [t ]= 1L[ t0 ] 1=L [(t u]) 1= 1 = 1s2 sss s2 1 1 2 ! 2当 n2 时, L =[ t2 =] 2L [ ] =t =2 = 33 s s s s s!3当 n= 3时 ,L[ t3 =] 3L [ t 2] =3 2 =3 2= 4 ss 34 s ss 则 …

L s

[L t] n∞=s + n st10

!

4.n 冲激数 函冲函数激

L :δ [t()] = 0 ∫δ(t ) e st td = 1 ∞L [δ( t t0 ) ]= ∫0 δt( t0 ) e sdtt=e

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4.3 §一 线性.性特 叠(性 )加 :

氏拉换变基的性质本

F F若 f1(t ) 1S()及f2( )t 2(S ) ,则例: 计算co ( s ωt)的 氏拉变。 换拉氏的换。 j变 ω t ωj t coQ( s ωt) = L

TLTK1 f(1) +t 2Kf (2t) F (1S)+ K F2 () S K1 2LT

e

e+ 2

∴L[ c os ( ω t) ]= L[

e jω t + ej ωt =1 L [ eω jt ] +1L [ e j ω t] = 2 122 ∫

∞

0e

jω tstedt + 12 ∫

∞

0e jtω e stdt 2

]

∞ e1 (s j+ω) t∞ 1 1 1 1 1 + = =+ 2 (s ω j) 0 2 ( s + jω) 02 s ω 2 j s+j ω所以

e (s jω) t

L c[s( oωt ) ] L= [sin(ω t ])=

s2s + ω2

ω同可得：理 同理可得:2s +ω2

二

拉氏变换

. 时域分 微性特: 若证明 证明：:

f( )t ( S )FLT∞

df 则(t) L sT F (s) (0 ) df

t

=Ls F (s ) f ( 0) at 象函的 …… 此处隐藏：6042字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……