二、解答题：本大题共3小题，共56分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 1.（本小题满分16分）

是否存在实数a，使直线y ax 1和双曲线3x y 1相交于两点A、B，且以AB为直径的圆恰好过坐标系的原点？ 2.（本小题满分20分）

2

2

| 523, 求证：不存在这样的函数f:Z 1,2,3 ，满足对任意的整数x，y，若|x y

则f(x) f(y). 3.（本小题满分20分）

设非负实数a，b，c满足a b c 1，求证：9abc ab bc ca

，

1

(1 9abc) 4

2010年全国高中数学联赛广东省预赛参考答案

一、填空题

1.设f(x) log x sinx 2，则f (x)

2

1xln

2

cosx，∵0 x

2

，∴0 cosx 1，

又0 ln

1，∴f (x) 0，即在区间(0,]上单调递增，故方程log x sinx 2在区222

间(0,

2

]上有且只有一个实根.

1n 1 1

) 是首项是8，公比是 的等比数列，∴3 3

2. 易知数列 8 (

1

8[1 ( )n]

6 6( 1)n，于是|S 6 |1 2 1 3n 1 250，∵Sn nn 11125312531 ( )3

35 243 250，36 729 250，故最小整数n是7.

a2 b2

3.∵ab ，

2

∴f(x1,x2, ,xn) sinx1cosx2 sinx2cosx3 sinxncosx1

sin2xn cos2x1sin2x1 cos2x2sin2x2 cos2x3

222