2013李永乐复习全书（数一）例题（无答案）（第五章）

1

x的带皮亚诺余项的三阶麦克劳林公式. 2、求e-x带皮亚诺余项的麦克劳林公式.

3、求arctanx带皮亚诺余项的5阶麦克劳林公式.

2

x2

4

、求w=lim.

x22x 0

cosx-esinx

5、确定常数a和b的值，使f x =x-a+be

x2

sinx当x 0时是x的5阶无穷小量.

1x6、设f x 在x=0处n n 2 阶可导且lim 1+f x =e，求f 0 ,f 0 , fx 0

4

n

0 .

x2x2

<1-cosx<. 7、设0<x<，证明：

232

8、设f x 在 0,1 二阶可导，f x a,f x b,a,b为非负数， c 0,1 ，求证：

1f c 2a+b.

2

9、设f x 在 a,b 三次可微，证明：

13 a+b b-a+b-af . a,b 使得f b =f a +f 224

10、在x=0处展开下列函数至括号内的指定阶数： （Ⅰ）f x =tanx

x ； （Ⅱ）f x =sin sinx x .

3

3

11、求下列函数f x 在x=0处带拉格朗日余项的n阶泰勒公式： （Ⅰ）f x =

1-xx

； （Ⅱ）f x =esinx. 1+x

12、用泰勒公式求下列极限：（Ⅰ）lim

x 0

x2e2x+ln 1-x2 xcosx-sinx

；（Ⅱ）lim n-nln 1+

n

2

1 . n

13、用泰勒公式确定下列无穷小量当x 0时，关于x的无穷小阶数：

； （Ⅱ）

e-1-t dt

t0

x

14、设f x 在 0，+ 三次可导，且当 x 0，+ 时f x M0，f x M3，其

中M0，M3为非负常数，求证f x 在 0，+ 上有界.