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第 12 节.考虑a11

行列的式质性证明不重要 但须必记住并 它们用来计算行 列式11 a12 aa21 aL1 n22aL an

a221L a1n

2a 122 La 2a nD L L=L L an 1a2 Ln ann将它行的依变次相应的为列，将它的行依 次变为应的列，相D 得=T

LL L L a1 na n 2 Lann

DT为D的称转置行式 列的置行列转式.

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质1性性 质行式列与它的转置列行式等相1a 12a1 =DM n1a 11aa1 2 D = ′ a1M n12 a22a Ma2na2 1a22 M2n a L1anL a 2n的 置 列 记转 行式 作 M OL na Ln an1 aLn 2 O L Mnna

D 则=D′

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p oro f :记 A =( b ji), 其中 b j i a =ijT左边 =

∑ (= 1)( i1 L,i, n)

( τi 1,Li, )nb1i b2 i2 1 bnLni

(∑ i 1, L, in)

( 1) τ ( 1i L, , ni )

ai 11a 2 2i a iL n n 右= 边每一 个 关 于 行的 性质 对列 也 必成立 .

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质2性互换 行列的式两行列(性质 互换 行式列两行 的列, )列行变号式 L LLL L Lak 1La k nal L a1n l L LL= LL L .la1 L= 左边 (1j,L, jn )

L Lanl

La1k L

L LaknL

∑ (1)( j1 ,L,jn )

(τ j1,L ,j L,kj l L,jn

)1 ja L1akj Lakll jLnanj

= (1∑) =右边τ ( j1,L, j lL ,jkL, jn )a 1j 1aLllj akLk Lanjnj

表

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行示列式的i第 表示行行列式第的列i 以ir表示行列的式 第行,以ci表示 列式行的 第列, 换i,交j两记作行 ij, r交换,ij两列记 作icj. 第二列 交 换行两记作r 换交两 列作c记 行两作记 两列作记

例第一列第一行11 c

2

cr 1 2 1 r r 2 1 3c 1 2 3 2c 1 3 123 1 = 321 = + 3 21 2 13 1 2 1 2 11果行列如式有行(列 完全两相同完全相 同 推论,如果 列式行两行有列)完 全相 同则行此列式为零. 为零 由变- +由+变-三第行3r

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性质3行 列的式某行一列(中 有的元素都 性所 质列式的某行行一列 中)所的有素元 都以乘一同数k, 于等数用k乘行此式列 乘行此列. 乘式以同数 等一于用数 此乘行列或式)乘以 第列行(或i 列以 记作乘 ×ik 或ci×k). (行 或列 乘以, k记作 r

或1a1a21 a1Lna2k 122akL a2kn M M M anO an12L a nn=

irk×a11k a12a12 L1na 2a 2La n2

MM MOan1 n2aL a n

行n式中列一行某列( 的所有素元公的即 行:式中某一行 列列的所)有素的公元因子 以可提到列行符式号的外面.因子可 提以行到列符式的号外面或列提)公出子 第因行i(或列提 出公子因记 作i ÷k或(c÷ki) 行 或列提 公出因k子,记 作r 或

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证明: 左边= ∑ (1) j1 ,L( j, n)

(τ 1 jL, ,n )j

a 11j L(ak j p pLa)njn= ∑ (k)1( 1 ,j,Ljn )

τ( j 1L, ,n )ja j1 L1 ajp pLa nnj=右 边

例

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2 42 3r 25÷5 1 50 10=51 2 1 2× × 1 3 4 3 41÷ ÷ 2 2 ÷ ÷56 r÷12 5÷2 ÷ 15

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当 k = 时0有，L L LLL L 0 L 0 = 0a p1 L a pn =0 L L .L L LL

论推: 若1列式行中行某元素为0,则其值为0全

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推2论:行列 中式如果有行两列( 素元成 比论推 列式行如果有中两 行列元)成素比则 行列此式为.零例 ,

则此行列式零 为例1,两3元 素成列例，比 比系例是数31 422 1

3 6

20 3 1

12 132 9

0

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性=4质 行若式的列一列某(行的元素 都两 是性质若 列行式的某一 列)的行素元都是两 数之和,例如 第列i的素元是都两之和数列 元素的是都两数之和 数:之和例如 第 的元列都素是数两和之a1 121 Da=L na111a L ′ai1+ a i1L a2 i +ai 2′ L L La n +ia ′n iLa 1n

L LLL

a n a1n2 , Lnna ′L a1 i′ L 2aiL a 1n则D等于列下两行列式个之 和于等列两个行列式之和: 等下下于列个两列式行和之 aLi a111a 21 L2a iL an a22 L1 an2 D=+ L L LL L LL L LL′ an1 L ni L aann a1 nL ni L aann证

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由行列定式义

D ∑(=)

τ 1(p 12Lpnp

′)a 1p 12 p2aL( aiip+ api )iLannp1ap1 2ap2 L apii anLp n ′1ap1 a2p 2La pii Lanpn=∑ ()1 ( τ1 pp2Ln p) +∑1(

τ)( 1p 2Lpn p

)例

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3

1 015

5 21

12 34 11 33-+101+2 0+1 +2131 1 2 1 5 3 11 45 1 + = 2 0 0 210 5 1 131 50 22 1 14 3

2思

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考 思考?a11 314aa11

12 a2a2a 2

a13 a23 3 1, =a33a1 a32 =3 ? 3a3则

如D =果 21a21a 13 a1 222a1 3 2a 22a1 33a32D 1 =4a2 14a13

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性5质把行列式的 一某列行( 各元素乘的以性 质 行把列式某一列 的行)的元各素以 乘一同然数加到后另列一行 (对应的元上去 素应对元素上的, 同去一然数加到另一后列行) 应的对元素去 上行式列的不值变记作 记(c 行列式作值不变的 作记 +kic或rj+kri)ja11a 12L an1 L L L L 1iaa 2 Lian iL LL a1Lj 2aj L njaL LL L a1 n第 j列 各元素×k的a2n L a nn

1a j× k a j 2 × k aLjn ×ka1 ak L ja 11 L 1ia Lj +× 1jL a1a 1 nLa n1a 2 a Lja a21 L 2ia L +j×2k La2 2n jL an L L2 LL L LLL L L aLn aj kLa a n 1L ani L × +jnL anj nn L nna很要重啦 !

L a

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1 +kλal 证：1 = L左a 1 LlL L LLL Lkan+ λan Ll an1 L按k第行开拆L ak =L1 l1a LLL L L LLa nk

Lla1L L L LL L1na L=右 an Ll L+λ La1 na l1L L

计

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行列式的常算方用法: 计行列式算的常方法用1. . 3. 2.4首先 量尽寻找与列的行公子, 首因先量寻尽行找与的公列因 将其子提到行 式外列面. 外面 式如发现果列式行两行有者或两列比例,成 如果现行发式列两有或者两行成列例比则 行列 式值的为.0 列式的值为然后利用 性5质能总行列式将换成上三角或 变后利用然质 性总能行列式变将换上成三或角 下者角三列式行 再计算,其角对线的乘上. 积下三者角行列 再式计其算角线对上乘的 积者或用利性5将质行列的式某 行列某)变成换 将行列的某行(式某列或者 用性质利 将列行的某式行 某列变换成 有一个元只素为0, 其余不素均元为,0只有一个元 素不 其余元素为为均然后再 按那行列(展开 降 成阶低的行阶式列.展开 ,那行 列)按展开 降成低阶的行列阶

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式：计例D算 =:解3 2 2 2分析：各列 元之素和 2 为 2 32

一定，故将第数、24行 3 、2 2 32全加到 第1行，后将 然 2 2 32 公子因出来提。1 22 123 2 2 1 2 2 3 2 213 1 1 11 0 10 00 0 010 0 019 9 9 9=D 3 222 22 3 222 2 =3

9=9 9=

总结： 总结

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:行若列式各行 若行(式列行(各列)素之和元相等， 元素和之等相 ，则将第 2到第 则将n2列(行第到)n第(列行都)加到上 去，取公提因数再计算后。第1 (行)列上，去提公因取后再数算计

。一