数学教学设计教 材：义务教育教科书· 数学(九年级下册) 6.5 相似三角形的性质(2)

1.运用类比的思想方法，通过实践探索得出：相似三角形对应线段(高、中线、角平分线)的比等于相 教学目标 似比； 2.会运用相似三角形对应高的比与相似比的性质解决有关问题； 3.经历“操作——观察——探索——说理”的数学活动过程，发展合情推理和有条理的表达能力. 教学重点 教学难点 探索得出相似三角形，对应线段的比等于相似比. 利用相似三角形对应高的比与相似比的性质解决问题. 教学过程(教师) 回顾旧知 如图，△ ABC∽△A′B′C′,△ ABC 与△ A′B′C′的相似比是 2:3,则 △ ABC 与△ A’B’C’的面积比是多少？你的依据是什么？ A A′ 运用上节课的知识解决问题. 引导学生回忆上 节课所学的相似三角 B C B′ C′ 形的性质相关内容，为 学习新知识铺垫. 学生活动 设计思路

回顾“相似三角形的面积比等于相似比的平方”这个结论的探究过 程，你有什么发现？ 发现新知 相似三角形对应高的比等于相似比. 总结结论，并猜想三角形中其他的特 通过已有知识的 学习，进行大胆的猜 想.

三角形中的特殊线段还有哪些？它们是否也具有类似的性质呢？ 殊线段所具有的性质. 你有何猜想？ 提出问题 问题一： △ABC∽△A′B′C′,AD 和 A′D′分别是△ABC 和△A′B′C′的中线，设 相似比为 k,那么 AD ? A' D ' A A′ 独立思考后小组交流.

教师在学生猜想 的基础上进一步提出 问题，将学生的猜想用 数学语言呈现出来，便

B- 1 -

D

C

B′

D′

C′

于学生说理证明.

问题二： △ABC∽△A′B′C′,AD 和 A′D′分别是△ABC 和△A′B′C′的角平分 线，设相似比为 k,那么 AD ?A' D '

按照要求，进行观察、对比和思考， 尝试说出其中的推理过程.

A

A′

B

D

C

B′

D′

C′

你能用所学知识有条理地表达理由吗？ 解决问题 问题一： △ABC∽△A′B′C′,AD 和 A′D′分别是△ABC 和△A′B′C′的中线，设 相似比为 k,那么 AAD ? A' D '

A′ 小组合作、师生合 C 运用所学知识进行有条理的说理. B′ D′ C′ 作相结合，培养学生有 条理的思考、说理的能 力.

B

D

∵△ABC∽△A′B′C′,AB BC k, B B , A B B C AD和A D 分别是 ABC和 A B C 的中线， 1 1 BC,B D B C , 2 2 BD BC k, B D B C AB BD k, A B B D BD

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∴△ABD∽△A′B′D′, AD k. A' D'

问题二： △ABC∽△A′B′C′,AD 和 A′D′分别是△ABC 和△A′B′C′

的角平分 线，设相似比为 k,那么 AD ?A' D '

A

A′

B

D

C

B′

D′

C′

∵△ABC∽△A′B′C′, ∴∠BAC=∠B′A′C′,∠B=∠B′. ∵AD 和 A′D′分别是△ABC 和△A′B′C′的角平分线， BAD 1 1 BAC , B ' A ' D ' B ' A ' C ' , 2 2

∴∠BAD=∠B′A′D′, ∴△ABD∽△A′B′D, ∴ AD k .A' D '

归纳结论 相似三角形对应中线的比等于相似比. 相似三角形对应角平分线的比等于相似比. 一般地，如果△ABC∽△A′B′C′,相似比为 k,点 D、D′分别在 BC、 B′C′上，且BD AD k ,那么 k . B ' D' A' D' A′

根据之前的探究总结出相应的结论并 将结论推广到一般情况.

师生互动，培养学 生归纳、总结和有条理 的表达能力.

A

B

D

C

B′

D′

C′

你能类比刚才的方法说理吗？ 总结：相似三角形对应线段的比等于相似比.

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例题精讲 如图， D、 E 分别在 AC、 AB 上， ∠ADE=∠B, AF⊥BC, AG⊥DE, 垂足分别是 F、G,若 AD=3,AB=5,求： (1)AG 的值. AF

积极思考，尝试解决，小组交流，进 一步规范书写过程.

通过例题的研究， 促使学生理解刚才推 导出的结论.

(2) △ADE 与△ABC 的周长的比，面积的比.

尝试运用 1.两个相似三角形的相似比为2:3,它们的对应角平分线之比为 _______,周长之比为_______,面积之比为_________ 2. 若两个相似三角形面积之比为16:9, 则它们的对高之比为_____, 对应中线之比为_____ 3.如图，△ABC∽△DBA,D为BC上一点，E、F分别是AC、AD 的中点，且AB=28cm,BC=36cm,则BE:BF=________ 独立完成，分组展示. 在研究例题的基 础上，进行适当的巩固 性练习，促使学生更加 熟练的掌握所学知识.

4.如图，梯形ABCD中，AD∥BC,AD=36cm,BC=60cm,延长 两腰BA,CD交于点O,OF⊥BC,交AD于E,EF=32cm,求OF的长.

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拓展提高 如图，△ ABC是一块锐角三角形的余料，边长BC=120mm,高AD =80mm,要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两 个顶点在AB、AC上，这个正方形的零件的边长为多少？ 独立思考后小组交流，有条理的写出 过程. 在学生已经较好 的掌握基础知识的前 提下，安排适当的拓展 题，锻炼学生思维的灵 活性，提高学生灵活运 用所学知识的能力.

总结归纳 回顾证明过程，再次感受相似三角形 的用法. 师生互动，总结学 习成果，锻炼学生的口 头表达能力，培养学生 归纳小结的能力，体验 成功.

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