达连河镇第一中学：汪多敏

§15.3.1

解分式方程的思路是：分式 方程 去分母

整式 方程

解分式方程的一般步骤1、 在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母， 化成整式方程. (转化思想)

2、解这个整式方程.3、检验 4、写出原方程的根. 为什么要检验？

一化二解三检验四总结

1 10 例 1: 解分式方程： 2 x 5 x 25方程两边同乘以最简公分母(x-5)(x+5),得：

x+5=10 解得： x=5

为什么会产生 增根？增根产 生的原因？

检验：当x=5时最简公分母(x-5)(x+5)=0, 所以x=5是增根。

原分式方程无解。

对于分式方程，当分式中分母的值为零时无 意义，所以分式方程，不允许未知数取那些 使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐 含着分母不为零的条件。当把分式方程转化 为整式方程以后，这种限制取消了，换言之， 方程中未知数的取值范围扩大了，如果转化 后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允 许值之外的值，那么就会出现增根。

例2:k为何值时，方程 增根？

k 1 x 3 产生 x 2 2 x

问：这个分式方程何时有增根？ 答：这个分式方程产生增根，则增根一定是使 方程中的分式的分母为零时的未知数的值，即 x=2。 问:当x=2时，这个分式方程产生增根怎样利用 这个条件求出k值？

答：把含字母k的分式方程转化成含k的整式方 程，求出的解是含k的代数式，当这个代数式等 于2时可求出k值。

例2:k为何值时，方程

k 1 x 3 产生增根？ x 2 2 x

解：方程两边都乘以x-2,约去分母，得k+3(x-2)=x-1 解这个整式方程，得

5 k x 2

当x=2时，原分式方程产生增根，即

5 k 2 2

解这个方程，得 K=1

k 1 x 3 所以当k=1时，方程 产生增根。 x 2 2 x

例 3:

k为何值时，分式方程 有增根？ 解： 方程两边都乘以(x-1)(x+1),得x(x+1)+k(x+1)-x(x-1)=0 解，得k x k 2

x k x 0 x 1 x 1 x 1

当x=1时,原方程有增根，则k=-1

当x=-1时，k值不存在 ∴当k=-1,原方程有增根。

例 4: x k x 0 k为何值时，分式方程 x 1 x 1 x 1 无解？ 解： 方程两边都乘以(x-1)(x+1),得 x(x+1)+k(x+1)-x(x-1)=0 解，得k x k 2

当x=1时,原方程无解，则k=-1 当x=-1时，k值不存在 当k=-2时，k+2=0, 原方程无解

∴当k=-1或k=-2时，原方程无解

思考：“方程有增根”和“方程无解” 一样吗？ “增根”是你可以求出来的，但代入后方 程的分母为0无意义，原方程无解。 “无解”包括增根和这个方程没有可解的根

3 6 x+m 例5:当m=_____时,----+-----=-------有增根. x x-1 x(x-1)

解:在方程两边都乘以x(x-1)得3(x-1)+6x=x+m

所以8x-m-3=0. 因为方程的增根是

x=0或x=1 所以m= -3或m=5.

变式1:

k 1 x 3 k为何值时，方程 x 2 2 x

无解？

变式2:k为何值时，方程

k 1 x 3 有解？ x 2 2 x

思考：“方程有增根”和“方程无解” 一样吗？

例2 解关于x的方程

2 ax 3 2 x 2 x 4 x 2

产生增根，则常数a= 解：化整式方程得

。 由题意知增根

x=2或-2是 整式方程的根. 把x=2代入得2a-2 =

-10, 解得a= -4. 把x=-2代入得-2a+2=-10,解 得a=6.所以.a=-4或a=6时.原方程产生增根.

方法总结：1.化为整式方程。2.把增根 代入整式方程求出字母的值。

例3

(例2变式)

解关于x的方程 无解，则常数a=

2 ax 3 2 x 2 x 4 x 2。

解：化整式方程得 当a-1=0时，整式方程无解. 解得a=1原分式方程无解。 当a-1 0时，整式方程有解.当它的解为增根时原分式方程无 解。 把增根x=2或x=-2代入整式方程解得a=-4或6. 综上所述：当 a= 1或-4或6时原分式方程无解.

方法总结：1.化为整式方程. 2.把整式方程分两种情 况讨论，整式方程无解和整式方程的解为增根.

例4

a 的取值范围解：解方程得

2x a 1 的解是正数，求 若分式方程 x 2.

且x≠2

由题意得不等式组： 解得： 且

思考1.若此方程解为非正数呢？答案是多少？ 2.若此方程无解a的值是多少？

方法总结：1.化整式方程求根，但是 不能是增根.2.根据题意列不等式组.

变式2: K取何值时，分式方程 有解？

x k x 0 x 1 x 1 x 1

随堂练习

x m 1、求分式方程 产生增根时 2 x -3 x -3 m的值。x k 4 2、当K为何值时，方程 x 2 x 2

2

无解？

随堂练习

x-3 1.解关于x的方程 x-1 = 则常数m的值等于( ) (A)-2 (B)-1

m x-1 (C ) 1

产生增根,(D) 2

x m 2.当m为何值时，方程 x 3 2 x 3

无解？有解呢？

随堂练习

2x+a 1.若方程 ------= -1的解是负数,求a x-2 的取值范围.2. a为何值时,关于x的方程 x+1 2a-3 ------ = ------的解等于0. x-2 a+5

x 1 2a 3 3.a为何值时关于x的方程 x 2 a 5的解是零.

| x | 1 4. 0的根是______ x 15.方程

x 1 x 1 x 1),根是( )。

2

的增根是(

6.关于x的方程

x 8 k 8 x 7 7 x

有增根,则k=_____.