数学思想方法

第二章 数学思想方法的几次突破 就数学发展的历史进程来看，从算术到代 数、从常量数学到变量数学、从确定性数 学到随机性数学是数学思想方法的几次重 要的突破。

第一节从算术到代数 一、算术的局限性 随着社会的发展，人类认识到算术在理论 上的限制了其自身的发展，主要表现在他 限制抽象的未知数参与运算，只允许具体 的、已知的数进行运算，因而导致其在解 决问题的方法上存在局限性。这种局限性 在很大程度上限制了其应用范围，从而促 使了新的数学分支——代数的产生。

二、代数的产生 算术的内容反映了物体集合数量关系，这 些内容是在分析和概括大量实际经验的基 础上加以抽象出来的，从而产生了纯粹形 式上的算术。 符号化一方面推动了算术的发展，另一方 面也为代数的产生奠定了基础。 代数讨论正整数、正分数和零，还讨论负 数、虚数和复数。其特点是用字母符号表 示各种数，最初的研究的对象主要是代数 式的运算和方程的求解。

代数解题的基本思想是： 首先依据问题的条件组成内含移植术和未 知数的代数式，并按等量关系列出方程， 然后通过对方程进行恒等变换求出未知数 的值。 因此，代数是一门关于形式运算的学说。 代数学形成的三大阶段：文字代数阶段； 简写代数阶段；符号代数阶段。

因此，代数是一门关于形式运算的学说。 代数学形成的三大阶段： 文字代数阶段：即全部解法都用文字语言 表达； 简写代数阶段：即用简化的文字表达一些 经常出现的量、关系和运算； 符号代数阶段：即普遍使用抽象符号，这 时采用的各种符号同它们的实际内容和思 想几乎没有明显的联系。

三、代数学体系结构的形成 17世纪初期，韦达和笛卡尔等人在数学中 系统地引入了符号，人们才真正把代数理 解为对文字计算的理论。当时代数涉及的 面非常广，不属于纯几何的内容都是它研 究的对象，如级数、对数、解代数方程、 解方程组以及解不定方程等。

伽罗瓦建立的理论称为伽罗瓦理论，给数 学中的最古老的用尺规作图的可能性问题 提供了一个判别方法。从而引进了群和域 等抽象代数的概念，使代数学的发展进入 了抽象数学的阶段。抽象代数与初等代数 在思想方法上有很大的差别。初等代数属 于计算性的，并且只限于研究实数和复数 等特定的数系，而抽象代数是概念性、公 理化的，它的对象是一般的抽象代数结构。 抽象代数比初等代数具有更高的抽象性和 更大的普遍性，应用范围更加广泛。

第二节从常量学到变

量学 一、常量数学应用的局限性 算术、初等数学、初等几何和三角等构成 的初等数学属于常量数学，运用这些知识 可以有效描述和解决相对稳定的事物和现 象。对于那些运动变化的事物和现象就显 得无能为力。

二、变量数学的产生 变量数学产生的数学基础应该是解析几何， 其标志为微积分。 1.解析几何的产生 解析几何的产生主要归功于两个数学家笛 卡尔和费尔马。 笛卡尔和费尔马两个数学家都是从研究几 何开始。 笛卡尔研究几何希望说明其所提出的一般 科学的正确性；而费尔马认为代数方法是 一种研究几何的普遍方法。

2.函数概念的出现 函数是数学的一个基本概念，是研究变化 着的量的一般性质与各种数量之间存在着 相依而变得规律。这一概念在以后二百多 年几乎是所有数学研究的中心，直到现在 还在不断发展。

3.微积分的产生 促使微积分的产生的原因很多，最主要的 因素是为了处理17世纪的科学问题： 1.已知物体移动的距离为时间的函数，求 物体的速度和加速度等； 2.求曲线切线的斜率和方程； 3.球函数的最大最小值； 4.球曲线的长度，曲边梯形的面积，曲面 围成的物体的体积。 其核心就是求一个常量无法确定的量—— 变量的问题。

三、变量数学产生的意义 1.变量数学的产生为自然科学更精确地描 述物质世界提供了有效的工具。 2.变量数学的产生促进数学自身的发展与 严密。 3.变量数学的产生使辩证法进入数学。

第三节 从确定数学到随机数学 一、确定数学的局限性 人们在社会实践活动中常常遇到两类不同 的问题： 一类是确定性现象，其特点是在一定的条 件下其结果完全被决定的，不存在其他的 可能。在数学学科中，人们把研究确定性 现象数量规律的那些数学分支称为确定数 学。代数、几何、方程和微积分等均属于 确定数学的范畴。

另一类是随机现象，其特点是在一定的条 件下，可能发生某种结果，也可能不发生 某种结果。对于这类现象由于条件和结果 之间不存在必然的联系，因此就不能用确 定数学来加以定量描述。 但是随机想象并不是杂乱无章的现象，在 总体上会呈现出一种规律性。人们把研究 随机现象数量规律的那些数学分支称为随 机数学，其主要数学工具是概率理论和数 理统计。

二、随机数学的产生与发展 概率和统计的历史可以追溯到遥远的古代， 如投正方形骰子、猜比赛的输赢等问题。 18世纪是概率论正式形成和发展的时期。 1713年伯努利在《推想的艺术》中明确发 现了概

率论中重要的定律之一---大数定律。 从此概率论从对待特殊问题的求解发展到了 一般理论的概括。 1718年法国数学家棣莫弗在《机遇原理》 提到的概率轮乘法法则、正态分布、正态分 布率等，为概率轮的“中心极限定理”建立 奠定了基础。

在社会发展与需求的影响下，它的理论和 应用都有显著的发展，并逐步出现理论概 率与应用概率的分化。 电子计算机的产生和发展，为概率的发展 开辟了广阔的场所，同时也与其他学科结 合产生了不少边缘学科，如生物统计、统 计物理学等

三、随机数学产生的意义 1.就应用而言，对社会的发展具有促进作 用 2.就认识论而言，表明人们对偶然性与必 然性之间的辩证关系有了进一步的认识。 3.就方法而言，是从局部到总体的归纳方 法

小结 就数学发展的历史进程而言，从算数到代 数、从常量数学到变量数学、从确定数学 到随机数学等是数学思想方法的几次重要 突破。其主要原因之一就是社会实践和数 学理论的需要。 这些突破均有现实意义和实用价值。因此 在整个数学发展的历史长河中具有重要的 地位。