古典概型

古典概型

温习旧知

基本事件与基本事件空间 互斥事件与对立事件

试验中不能再分的最简单的随机事件叫做基本事件

不能同时发生的两个事件为互斥事件；

不能同时发生且必有一个发生的两个事件为对立事件

概率的加法公式

P A B P A P B

频率与概率 在n 次重复试验中，当n 很大时，事件A 发生

的频率

m n

稳定于某个常数附近，这个常数叫

做事件A 的概率.

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1、掷一枚质地均匀的硬币，所有可能出现的结果是：

正面朝上、反面朝上2、掷一枚质地均匀的骰子，所有可能出现的结果是：

1点、 2点、 3点、 4点、 5点、 6点 一.基本事件

1.基本事件定义：在一次试验中可能出现的每一个基本结果称为一个基本事件.

2.基本事件的特点：(1)任何两个基本事件是互斥的 (2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和.

古典概型

例1、 从字母a、b、c、d 任意取出两个不 同字母的试验中，有哪些基本事件？ 分析：为了得到基本事件，我们可以按照某 种顺序把所有可能的结果都列出来。 所求的基本事件共有6个：A { a , b} B { a , c} C { a , d } D {b , c} E {b , d }

F {c , d }

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变式练习1

一个袋中装有红、黄、蓝、绿四 个大小形状完全相同的球，从中一次 性摸出三个球，其中有多少个基本事 件？

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二.古典概型

上述试验和例1有哪些共同特点？有限性

(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个。 (2)每个基本事件出现的可能性相等。等可能性

将具有这两个特点的概率模型称为 古典概率模型，简称古典概型.

古典概型

想一想，对不对(1)向一个圆面内随机地投射 一个点，如果该点落在圆内任 意一点都是等可能的，你认为 这是古典概型吗?为什么？

有限性等可能性

古典概型

想一想，对不对(2)某同学随机地向一靶心进 行射击，这一试验的结果只 5 有有限个：命中10环、命中 6 7 9环……命中5环和不中环。 8 你认为这是古典概型吗？为 9 什么？ 5 6 7 8 9 10 9 8 7 6 5 9 8 有限性 7 6 等可能性 5

题后小结：判断一个试验是否为古典概型，在于检验这个试验是否同时具有有限性和等 可能性，缺一不可.

古典概型

三.古典概型概率公式 思考：在古典概型中，基本事件出现的概率 是多少？随机事件出现的概率如何计算？掷一枚质地均匀的骰子的试验，可能出现几种不同的结果？ 如何计算“出现偶数点”的概率呢？

1 3 偶数点的基本事件的个数 = = P(偶数点)= 基本事件的总数 2 6 对于古典概型，任何事件的概率为： A包含的基本事件的个数 P(A)= 基本事件的总数

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例2 先后抛掷两颗骰子，求：(1)点数之和为6的概率；(2)出现两个4

点的概率

解：用有序数对 x , y 表示掷得的结果，则基本事件总数 n 36(1)记“点数之和为6 “为事件A 则 A 1,5 , 2 , 4 , 3 ,3 , 4 , 2 , 5 ,1 , m 5 P A 5 36

(2)记“出现两个4点”为事件 B则 B 4 , 4 , m 1,

P B

1 36

古典概型

题后小结：求古典概型概率的步骤： (1)判断试验是否为古典概型； (2)写出基本事件空间 ,求 n

(3)写出事件 A ,求 m (4)代入公式 P A m n

求概率.

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1、掷一颗骰子，则掷得奇数点的概率为 0.5 2、盒中装有4个白球和5个黑球，从中任取 一球，取得白球的概率为 4 3、一枚硬币连掷三次，至少出现一次正面 的概率为 7

9

4、掷两颗骰子，掷得点数相等的概率为

8

1 6

,掷得点数之和为7的概率为 1

6

古典概型

例3 从含有两件正品 a , b 和一件次品 c 的3件产品中(1)任取两件；(2)每次取1件，取后不放回，连续 取两次；(3)每次取1件，取后放回，连续取两次，分 别求取出的两件产品中恰有一件次品的概率。

分析：三种取法各不相同，第一种取法可认 为一次取两件，与第二、三种取法相比没有 顺序的差别；第二种取法是不放回的，前后 两次取出的产品不能相同；第三种取法是放 回的，前后两次取出的产品可以相同.但无论 是那种取法，都满足有限性和等可能性，属 于古典概型。

古典概型

例3 从含有两件正品 a , b 和一件次品 c 的3件产品中(1)任取两件；(2)每次取1件，取后不放回，连续 取两次；(3)每次取1件，取后放回，连续取两次，分 别求取出的两件产品中恰有一件次品的概率.

解： (1)基本事件空间 a , b , a , c , b , c n 3记“恰有一件次品”为事件 A A a , c , b , c , m 22 3

所以

P A

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例3 从含有两件正品 a , b 和一件次品 c 的3件产品中(1)任取两件；(2)每次取1件，取后不放回，连续 取两次；(3)每次取1件，取后放回，连续取两次，分 别求取出的两件产品中恰有一件次品的概率.

(2)基本事件空间 a , b , a , c , b , a , b , c , c , a , c , b n 6

记“恰有一件次品”为事件 A

,2 3

a , c , b , c , c , a , c , b 4 m 4 ,所以 P A A

6

古典概型

例3 从含有两件正品 a , b 和一件次品 c 的3件产品中

(1)任取两件；(2)每次取1件，取后不放回，连续 取两次；(3)每次取1件，取后放回，连续取两次，分 别求取出的两件产品中恰有一件次品的概率.

(3)基本事件空间 a , a a , b , a , c , b ,

a , b , b , b , c , c , a , c , b , c , c

n 9A 记“恰有一件次品”为事件

,4

A

a , c , b , c , c , a , c , b

m 4 ,所以 P A 9 题后小结：在取物品的试验中，要注意 取法是否有序，有放回还是无放回.

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例4(掷骰子问题):将一个骰子先后抛掷2次，观察向上的点数. 问：⑴两数之和是3的倍数的结果有多少种？

两数之和是3的倍数的概率是多少？ ⑵两数之和不低于10的结果有多少种？ 两数之和不低于10的的概率是多少？第 二 次 抛 掷 后 建立模 向 上 型 的 解：由表可 点 数 知，等可能基 本事件总数为 36种。

6 5 4 3 2 1

7 6 5 4 3 2 1

8 7 6 5 4 3 2

9 10 8 9 7 8 6 7 5 6 4 5 3 4

11 10 9 8 7 6 5

12 11 10 9 8 7 6

第一次抛掷后向上的点数

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第 二 次 抛 掷 后 向 上 的 点 数

6 5 4 3 2 1

7 6 5 4 3 2 1

8 9 10 11 12 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 2 3 4 5

6

第一次抛掷后向上的点数 ⑴记“两次向上点数之和是3的倍数”为事件A, 则事件A的结果有12种， 如(2,1)、(1、2)、(5,1)等，P ( A) 12 36 1 3

因此所求概率为：

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第 二 次 抛 掷 后 向 上 的 点 数

6 5 4 3 2 1

7 6 5 4 3 2 1

8 9 10 11 12 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 2 3 4 5

6

第一次抛掷后向上的点数 ⑵记“两次向上点数之和不低于10”为事件B, 则事件B的结果有6种， 如(4,6)、(6、4)、(5,5)等， 因此所求概率为：P(B) 6 36 1 6

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根据此 表，我们 还能得出 那些相关 结论呢？

第 二 次 抛 掷 后 向 上 的 点 数

6 5 4 3 2 1

7 6 5 4 3 2 1

8 9 7 8 6 7 5 6 4 5 3 4 2

10 11 9 10 8 9 7 8 6 7 5 6 3 4

12 11 10 9 8 7 5

6P (C ) 15 36 5 12

第一次抛掷后向上的点数

变式1:点数之和为质数的概率为多少？

变式2:点数之和为多少时，概率最大且概率是多少？点数之和为7时，概率最大，P 且概率为： ( D ) 6 36 1 6

古典概型

例5、假设储蓄卡的密码由4个数字组合，每个数字可以是0,1,2,……,9十个数 字中的任意一个。假设一个人完全忘记了自 己的储蓄卡密码，问他到自动取款机上随机 试一次密码就能取到钱的概率是多少？

分析：一个密码相当于一个基本事件，总共有10000个基本事件，它们分别是0000,0001,0002,……,9998,9999. 随机的试密码，相当于试到任何一个密码的可能性都是相等 的，所以这是一个古典概率。事件“试一次密码就能取到钱” 由1个基本事件构成，即由正确的密码构成。

1 解： P(“试一次密码就能取到钱”)= 10000