奥数

一、数列极限的概念辨析

1.若 lim an = C , 那么2 2 n →∞

A. lim an = cn →∞ n →∞

B. lim an = cn →∞ n →∞

B. lim an =| c | D. lim an可能不存在

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2.若 lim an = A, lim bn = B, 则n →∞ n →∞

下列各式中必定成立的是 n n A. lim(nan ) = nA B. lim an = An →∞ n →∞

an A C. lim = n →∞ b B n D. lim(man + kbn ) = mA + kBn →∞

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3.对于下列五个命题： 对于下列五个命题： 对于下列五个命题

an p (1)若 lim an = p, lim bn = r , 则 lim = n →∞ n →∞ n →∞ b r n(2)若 lim(anbn ) = pr , 则 lim an = p, lim bn = rn →∞

(3)若 lim an = p, 则 lim (a ) = p (m为常数)m n →∞ n →∞

n →∞ m n

n→

(4)若 lim an = p, 则 lim (nan ) = npn →∞ n →∞

c (5)若 lim = 0, 则c为常数 n →∞ n

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二、数列极限的求解问题

4.等差数列{an }、 n }的前n项和分别为 {b Sn an 2n S n、Tn,若 = , 则 lim 等于 n →∞ b Tn 3n + 1 n{b 变式：已知{an }、 n }都是公差不为零的等差 an a1 + a2 + + an 数列，且 lim = 2, 则 lim n →∞ b n →∞ nb2 n n

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例5.已知an、bn分别是(1 + 5 x) 和n

(4 x) (3 + x) 展开式中各项的系数和，n n

bn an = 则 lim n →∞ 5a + 3b n n

C + 2C + 3C + + nC 变式1: lim = n →∞ n 31 n 2 n 3 n n n n

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cos θ sin θ π lim = 1(0 ≤ θ ≤ ) 变式2: n n n →∞ cos θ + sin θ 2 成立的条件是n n

A.θ ∈ ( , ] 4 2 C.θ ≠

π π π

B.θ ∈ [0, ) 4 D.θ ∈ (0, ) 2

π

π

4

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1 例6.已知数列{an }满足S n = an 1, 那么 3 lim(a2 + a4 + + a2 n ) =n →∞

变式1:已知{an }为无穷等比数列，且 1 lim(a1 + a2 + + an ) = , 则首项a1的取 n →∞ 6 值范围是

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变式2:若首项为 1,公比为 的等比 变式 若首项为a 公比为q的等比 若首项为 公比为 数列{an}的前 项和总小于这个数列 数列 的前n项和总小于这个数列 的前 各项和,则首项 1,公比 的一组取值 各项和 则首项a 公比q的一组取值 则首项 公比 可以是(a1,q)= 可以是

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变式3:已知A(0,0), B(a, b), P 是AB 中点， 1 P2是BP中点，P3是P P2中点， ,Pn + 2是 1 1 Pn Pn +1中点，则Pn点的极限位置

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例7. lim[(2n 1)an ] = 2, 则 lim nan =n →∞ n →∞

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例8.数列{an }中，a1 = 1, a2 = 2, an + 2 n →∞ n →∞

an an +1 + 1 = 1 + 3an

(n ∈ N ), 且 lim an 存在，则 lim an =

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f ( x 1) x 1 9.若 lim = 1, 则 lim = x →1 x →1 f ( 2 2 x ) x 1

x f (2 x) 变式1. lim = 2, lim = x →0 f (3 x ) x →0 x

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ax + bx + 1 10.设 lim = 3, x →1 x 1 n n 1 b +a 求 lim n 的值 n →∞ a + b n 12

f ( x) 4 x 变式：f ( x)为多项式，且 lim =1 2 x →∞ x f ( x) lim = 5, 求f ( x) x →0 x3