专题1：数列及其数列求和(4)

数列及其数列求和

(3n 1)n

a 1 2

（注：Sn ）

(3n 1)n a 1 2

(3)裂项法：如an

1111

，求Sn ，常用的裂项，

n(n 2)n(n 1)nn 1

11111111

( )； [ ]

n(n 2)2nn 2n(n 1)(n 2)2n(n 1)(n 1)(n 2)

(4)错位相减法：其特点是cn=anbn 其中{an}是等差，{bn}是等比 如：求和Sn=1+3x+5x2+7x3+……+(2n－1)xn1 注意讨论x，

－

n2 x 1

Sn (2n 1)xn 1 (2n 1)xn (1 x)

x 1 2

(1 x)

(5)倒序求和：等差数列的求和公式就是用这种方法推导出来的。如求证：Cn0+3Cn1+5Cn2+… +(2n—1) Cnn=(n+1)2n

名题归类例释

错位相减法：

例1 求数例1，3a，5a2，7a3，…(2n－1)an-1，…(a≠1)的前n项和．

解：因 Sn=1＋3a＋5a2＋7a3＋…＋(2n－1)an-1， (1) (1)×a得

aSn=a＋3a2＋5a3＋…(2n－3)an-1＋(2n－1)an，（2）

两式相减得

(1－a)Sn=1＋2a＋2a2＋2a3＋…＋2an-1－(2n－1)an =2(1＋a＋a2＋a3＋…＋an-1)－(2n－1)an-1

1（ 1 an)

(2n 1)an 1 =2

1 a

2(1 an)(2n 1)an 1

所以:Sn 2

1 a(1 a)