第十一章

第七节 斯托克斯公式及其 应用一、斯托克斯公式 二、空间曲线积分与路径无关的条件

三、环流量与旋度

一、斯托克斯公式

(stokes)

1.定向曲面边界曲线的方向设 是具有边界曲线的定向 曲面, 规定其边界曲线 的正向为 :

这个方向与定向曲面 的法向量符合右手法则,即 当右手除拇指外的四指 依边界的绕行方向时, 竖起 的拇指的指向与 上法向量的指向相同.按照这种方式规定了方 向的边界曲线称为定向 曲面 的正向边界曲线.

取上侧, 正向边界为逆 时针方向的圆周曲线; 取下侧, 正向边界为顺 时针方向的圆周曲线.

取后侧, 正向边界为顺 时针方向的圆周曲线; 取前侧, 正向边界为逆 时针方向的圆周曲线.

2. 斯托克斯(stokes)公式

定理1 设 为分段光滑的空间有向 闭曲线, 是 以 为边界的分片光滑的定 向曲面, 的正向与 侧符合右手规则. 函数P ( x , y , z ), Q( x , y , z ), R( x , y , z ) 在 (连同边界 )上具有一阶连续偏导数 , 则有 R Q Q P P R y z dydz z x dzdx x y dxdy Pdx Qdy Rdz .

斯托克斯公式

便于记忆形式dydz dzdx dxdy Pdx Qdy Rdz x y z P Q R

另一种形式 cos cos cos x y z ds Pdx Qdy Rdz P Q R 其中n {cos , cos , cos }

斯托克斯公式的实质 表达了定向曲面上的第二类曲面积分与曲面 的定向边界曲线上的第二类曲线积分之间的关系. 是微积分基本公式在曲面积分情形下的推广;是格 林公式的推广.

若R( x , y, z ) 0, 位于xOy面取上侧, 则

Q P x y dxdy Pdx Qdy. 格林公式 斯托克斯公式特殊情形

zO

n y

x格林公式

二、典型例题例1

利用斯托克斯公式计算 曲线积分

I y 2dx xdy z 2dz , 其中 是平面y z 2与柱面x y 1的交线, 若2 2

从 z轴正向看去, 取逆时针方向.解

P y , Q x, R z ,2 2

为y z 2的上侧被 所围的部分.D xy : x 2 y 2 1

dydz dzdx dxdy (1 2 y )dxdy I x y z y2 x z2

(1 2 y )dxdy Dxy

d (1 2 sin )rdr0 0

2π

1

π.

练习. 利用斯托克斯公式计算积 其中 为平面 x+分 z = 1 被三坐标面所截三角形的整个 y+ 边界, 方向如图所示.z

解: 记三角形域为 , 取上侧, 则o

1

d yd z d zd x d xd y x y z

1

1 y

x

Dx y

z

x

y利用轮换对称性

3

d y d z d z d x d x d y 3 D d x d y xy 2

例2 计算 ( y 2 z 2 )dx ( z 2 x 2 )dy ( x 2 y 2 )dz ,

3 其中 是用平面x y z 截立方体[0,1] [0,1] [0,1] 2 的表面所得的截痕 , 若从z轴正向看去, 取逆时针方向.

z

n

O

y

x

解 : x y z 3的 2 上侧被 所围的部分 .

z

n

1 1 1 n (1,1,1), en ( , , ), 3 3 3dydz x y2 z2 d zd x y z2 x2 d xd y z x2 y2

O

y

x

I

1 3 x y2 z2

1 3 y z2 x2

1 3 dS z x2 y2

z

n

O

y

4 ( x y z )dS 3 3 在 上 x y z , 2

x

y4 ( x y z )dS 3 2 3 dS

1

x y 1.5

0 .5 O

D xy0 .51x

x y 0.52 x 2 y

2 3 1 z z d Dxy

2 3 3d Dxy

9 6 ( Dxy的面积) . 2

练习. 为柱面轴正向看为顺时针, 计算

与平面 y = z 的交线,从 z

解: 设 为平面 z = y 上被 所围椭圆域 , 且取下侧, 则其法线方向余弦

z

y

利用斯托克斯公式得

cos cos cos

o xdS

2 0

I

x 2

y

z

y

xy

xz

*二、空间曲线积分与 路径无关的条件

定理2. 设 G 是空间一维单连通域, 函数 P, Q, R 在G内 具有连续一阶偏导数, 则下列四个条件相互等价: (1) 对G内任一分段光滑闭曲线 , 有 (2)

与路径无关

P d x Q d y R d z 0 对G内任一分段光滑曲线 , P d x Q d y R d z

(3) 在G内存在某一函数 u, 使 d u P d x Q d y R d z(4) 在G内处处有

P y

Q Q , z x

R , R P y x z

例4. 验证曲线积分 ( y z ) d x ( z x) d y ( x y ) d z 与路径无关, 并求函数

u ( x, y , z )

( x, y , z ) (0,0,0)

( y z )d x ( z x) d y ( x y ) d z

解: 令 P y z , Q z x , R x y R P P Q Q R 1 1 , 1 , x z y x z y 积分与路径无关, 因此 z y z ( x, y , z ) x d y ( x y) d z

xy ( x y) z xy yz zx

0

0

O

(x,0,0)

y( x, y,0)

x定理2

*三、 环流量与旋度

斯托克斯公式

Pd x Qd y Rd z

n (cos , cos , cos ) 曲线 的单位切向量为 (cos , cos , cos )设曲面 的法向量为

则斯托克斯公式可写为

( P cos Q cos R cos ) d s