第三章 常微分方程初值问题数值解法

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第三章 常微分方初值程问数题解法值3.1引 言 3. 2简的数单方值法与本概基念

3.3 格-库龙方塔法.4 单步3法收的性敛稳与性定

.53 性线多步法36.方 程组高阶和方

程3

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.1引 言章本论一阶常微分讨方程初值的题问： y f( x ,y ) y x(0 ) y 0只要数函 f x,( y )当光适—如滑满足利普茨希条件：f x( ,y) f ( ,xy ) Ly y

论理就上保证能值问题的解 y初 y( x )存 在并且唯一。所 谓数值法解就，寻求解是 y(x) 在 系一列散离点x1 x2 xn xn 1

上的近 值 y 似, , , yy ,y , ,相两个点间邻距的离h xx 称为步 长一。情般下我况取们h h i( 1, , 2)为 数常，是节点这： x 为 x n, hn 0 ,1 2, ,1 2 nn n1n 1 n in

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3.1 0言引初值题问的解求一有基个特点，本们都是它取 采“进式步”求解，的，一即步一地求函步数值。 求的的解主方法要：是对方程进行离散化先，立 建数求值的递解公推，式类一计算在y 时只 用到前一 面步的 y称，单步法。为另一类在算 y 时除计了用 理到论就上保证能初值问的解 y题 y ( )x 在并存唯且。一 谓所值数法解就，是寻解 y(求 x)在 一系列散点n 1离 n 1nx1 2 x xn n 1 x

上的似值 近 ,y y ,, ,yy , ,邻两个点间相的离 h 距 x x 为称步。一般情长况我们取 h下 h( i 1 ,2 , 为常数，这)是点节： x为 x nh , n0,1, 2 ,1 2 n n 1 n 1n n n i0

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初值问的求题解有个一基本点特它，都们是采 “取步式进”解求的即，,一一步步求地函数的值。 解的求主方要法：是先对程进方离散化，建立行求 数值解递的公式，一推在类计算 时y只用前到一 步的面y 称，为单法。另一类在步算 计 时y除了用到 前利前用一面的 步 ，还y要到前面用 y 的等这，种方 称为多步法 其。次要研，究公式局部截的断差误和。阶数值解和 确解的误差精计和估敛收性，有还递推代迭式公数 值稳的性定问题。 n1 n n 1 nn 1

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显式欧 法拉 在 yx 面平，上分方微初程问题值解 y的 y x)( 作称方 的程积分曲。线分积线曲上一点 每( ,xy 的)斜等率于该 的点函值数f (x, y 。)如按果函 数f( x y ,) 在yx平面 上 建立个一方向场，那，积么曲分线每一点上切的方线向 与方向均场该点的在向一致。方

方称为步法多。

次，要其究研公式局部截的断误差阶和。值解数 和精确解误差的估计和收性敛还，有递推迭公代式数 值的定性问题稳。

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.9 2单的简数值方与基法概念本显欧拉法式在 yx 面上平微，方程初值问分的题 解y y (x 称作方)程 积分的曲。线积分线曲每上一点( x , y)的

斜率于该等点 函数值的f ( ,xy ) 。如果按 数函f ( x , ) y在xy 平面 上 建一个方向立场那么，积，分曲上线一点每切的线向 均与方方场向在点该方向一的致 基于。上的面几何解，释们从初我点始 (Px , y )出发 先依方向，场在该的点方推向进到 xx 一上 点P, 后然 再从依 方场的方向推向进到x x上 一点 P循此前 进，出一条做线折P P P 。

0 0 0 1

1

22

01

2

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92 .简的数值单方与基法概念本一般地设已，出做折线该的上点顶 P,过 (Px y ) ,方依场向方的再推进到向 P (x, y ),显 然个顶两 P , 点P的 标坐有下如关系 nn nn n1 n1 n 1 nn

1ny 1 y n即xn 1 x ynn1 n y hf x(n ,yn ) f ( x ,ny n)

于上面的几基解何，释们我从初点始P ( x , y 出发， )先依方向场在该点的方推进向到x x 上 一 点 P然，后 从 再方依向场的向方推进 x到 x 上点 P一 ，此前循 进做出条一线折 P PP 。 00 011

22

0

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一般，地已设出做该折上线顶点 P的， 过P ( ,x y )依向方场方向的推再进 到P( ,x y ) 显然两，顶个 P点 ,P 坐标有如的下关系nn n n n1 n1n 1 n n 1y 1 ny

n即 这就是著的名拉公欧式若初。 y值 知，已依该公则式 逐步可算出:

0x n 1 nx n y1 yn h f xn( y,n)

f x(n, yn

y)1 y0 f ( xh0, y0 ) 2y y 1 h ( f1x y1 ,

) y n 1 n yf h (xn ,ny )

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1 求例解值问初：(题解为其x2 y y y y( 0 ) 1 ( 0 x 1) y 1 2 x)

解：根欧据拉法方，到：得y n 1 y n h(y n x2 nny )0

就是著这名欧的公拉式。若初值 y 已知，依该公则式可逐步 出：算1 yy 0 fh x0 ( y0, y2 ) 1y h f( 1x, y1 )

n y1 yn h f ( xn y,n) 例

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求1解值问题初(:解为2其 x y y y y( ) 01 (0 x 1) y 1 2x )

:根解据欧拉法，得到方：n y1 yn h( y n 2 xn n y)步取长xn,计得算到下结果：如 h .01ny0.10.2 0 3.0. 0.541.100 01.11981. 72471 .358 12.3154

.01945 11.82 13.24961. 416 3.4142

1 (yxn ) xn

yn

y( x n)

06 .0. 7.0 089.1 0.1.509 0.5810 3.649181 7.187 .718841483. 1.5492 12.16251.6 733 .71231

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隐欧拉法式 在前的面讨中，论近计似公式算y y h f ( x ,y) 可以成是看由 y f ( x, y) 在区间[ x, x ] 上积分 到得而 右边，的分积是利用矩左公式形h f(x , y) 近似再，以y 代 替(y x 得到，)在现端的右积分用矩右形公式则，得到 …… 此处隐藏：4888字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……