数学建模的实验报告

时间：2025-05-18

一、问题

路灯照明问题。在一条20m宽的道路两侧，分别安装了一只2kw和一只3kw的路灯，它们离地面的高度分别为5m和6m。在漆黑的夜晚，当两只路灯开启时，两只路灯连线的路面上最暗的点和最亮的点在哪里？如果3kw的路灯的高度可以在3m到9m之间变化，如何路面上最暗点的亮度最大？如果两只路灯的高度均可以在3m到9m之间变化，结果又如何？二、数学模型

已知P1为2kw的路灯，P2为3kw的路灯，以地面为X轴，路灯P1为Y轴，建立平面直角坐标系。其中，P1、P2高度分别为h1、h2，水平距离为S=20m。设有一点Q(x，0)，P1、P2分别与其相距R1、R2。如下图示。

经查阅资料得，光照强度公式为：，设光照强度k=1。则，两个路灯在Q点的光照强度分别为：

p1sina1p2sina2

I 22

R12R2

其中：

R12=h12+x2 R22=h22+(S-x)2

则Q点的光照强度Ix=I1+I2

分别按照题目中的不同要求，带入不同数值，求导，令导数为零，求得极值，进一步分析对比，求得最值。

三、算法与编程

1. 当h1=5m，h2=6m时: symptoms x y x=0:0.1:20;

y=10./sqrt((25.+x.^2)^3)+18./sqrt((36.+(20-x).^2).^3); plot(x,y)

grid on;

在图中的0-20米范围内可得到路灯在路面照明的最亮点和最暗点

① 对Ix求导：

syms x

f=10./sqrt((25.+x.^2)^3)+18./sqrt((36.+(20-x).^2).^3)

② 运用MATLAB求出极值点

s=solve('(-30*x)/((25+x^2)^(5/2))+(54*(20-x))/((36+(20-x)^2)^(5/2))'

);

s1=vpa(s,8)

s1 =

.28489970e-1 8.5383043+11.615790*i 19.976696 9.3382991 8.5383043-11.615790*i

③根据实际要求，x应为正实数，选择19.9767、9.3383、0.02849三个数值，通过MATLAB计算出相应的I值： syms x

I=10/(25+x^2)^(3/2)+18/(36+(20-x)^2)^(3/2); subs(I,x,19.9767) subs(I,x,9.3383) subs(I,x,0.02849) ans =

0.0845 ans = 0.0182 ans =

0.820

综上，在19.3米时有最亮点；在9.33米时有最暗点

2.当h1=5m，3m<h2<9m时：

① 对h2求偏导，并令其为0：

②运用MATLAB求出极值点

solve('3/((h^2+(20-x)^2)^(3/2))-3*(3*h^2)/((h^2+(20-x)^2)^(5/2))=0')

ans =

20+2^(1/2)*h 20-2^(1/2)*h

③ 对x求偏导，并令其为0：

④ 通过MATLAB，将步骤②中计算出的关于h2的表达式带入上式，并求出h2的值；

solve('-30*(20-2^(1/2)*h)/((25+(20-2^(1/2)*h)^2)^(5/2))+9*h*(20-(20-2^(1/2)*h))/((h^2+(20-(20-2^(1/2)*h))^2)^(5/2))=0') ans =

7.4223928896768612557104509932965

⑤通过MATLAB，利用已求得的h2，计算得到x，并进一步计算得到I

h=7.42239; x=20-2^(1/2)*h

I=10/((25+x^2)^(3/2))+(3*h)/((h^2+(20-x)^2)^(3/2)) x = 9.5032 I =

0.0186

3．当h1，h2均在3m-9m之间时:

①同上，通过MATLAB求解下面的方程组：

solve('p1/(h1^2+x^2)^(3/2)-3*p1*h1^2/(h1^2+x^2)^(5/2)') solve('3/((h^2+(20-x)^2)^(3/2))-3*(3*h^2)/((h^2+(20-x)^2)^(5/2))=0') ans =

2^(1/2)*h1 -2^(1/2)*h1 ans = 20+2^(1/2)*h 20-2^(1/2)*h

②根据实际，选择x=h1，x=20-h2，带入第三个式中，得：

③利用MATLAB，求得x值： s=solve('1/((20-x)^3)=2/(3*(x^3))'); s1=vpa(s,6) s1 =

9.32530 7.33738+17.0093*i 7.33738-17.0093*i

④ 按照实际需求，选择x=9.32525

⑤ 带入求解I，并比较得到亮度最大的最暗点

h1=(1/sqrt(2))*9.32525 h2=(1/sqrt(2))*(20-9.32525) h1 = 6.5939 h2 =

7.5482 四、计算结果 1.当h1=5m，h2=6m时:

x=9.33m时，为最暗点，I=0.01824393；x=19.97m时，为最亮点，I=0.08447655。

2.当h1=5m，3m<h2<9m时：

x=9.5032,h2=7.42239时，路面上最暗点的亮度最大，I=0.0186w。 3.当h1，h2均在3m-9m之间时:

h1=6.5939，h2=7.5482，x=9.32525时，路面上最暗点的亮度最大。

2 火箭问题

小型火箭初始重量为1400kg，其中包括1080kg燃料。火箭竖直向上发射时燃料的燃烧率为18kg/s，由此产生32 000N的推力，火箭引擎在燃料用尽时关闭。设火箭上升时的空气阻力正比于速度的平方，比例系数为0.4kg/m。求引擎关闭瞬间火箭的高度、速度、加速度，及火箭到达最高点时的高度和加速度，并画出高度、速度、加速度随时间变化的图形。

解析：火箭上总共携带燃料1080kg，燃料燃烧率为18kg/s，火箭上升时间t=60s时，燃料全部烧尽。阻力正比于速度的平方，比例系数0.4kg/m，可知阻力表达式为f=0.4v2。由于燃料燃烧，火箭的质量是时间的函数， m(t)=11400-18t

火箭升空速度和加速度变化可分为两个阶段；

第一阶段：燃料燃烧产生的推力恒定，随着燃料的不断消耗，火箭的质量m降低，可得出火箭的速度v以及加速度a是变化的，由牛顿第二定律，根据速度与时间关系，建立微分方程组。

第二阶段，燃料耗尽，此时火箭的质量m恒定。引擎关闭的瞬间，火箭剩余质量：m=1400-1080=320kg，由于火箭运动受到阻力的作用，火箭先加速，后减速。火箭将达到最高速度。五、算法与编程

由题目已知条件可设置变量：加速度a 质量m 时间t 速度v 合力f

求出有关于v的微分方程第一阶段 clear syms a m t v f m=1400-18*t

f=32000-0.4*v^2-9.8*m a=f/m

m = 1400-18*t f =

18280+882/5*t-2/5*v^2 a =

(18280+882/5*t-2/5*v^2)/(1400-18*t)

odefun=@(t,v)(18280+882/5*t-2/5*v^2)/(1400-18*t); s = cumsum(v).*0.1; subplot(2,2,1) plot(t,s); grid on

xlabel('时间');ylabel('高度') title('1.h/t')