数字逻辑 逻辑代数基础

第二章

逻辑代数基础

★ 逻辑代数是描述 / 分析 / 设计数字逻辑 电路的数学工具。运用逻辑运算可以 设计最简逻辑电路。

2.1 逻辑代数的基本概念★ 逻辑代数：是由逻辑变量集、常量“0”、“1” 及“与”、“或”、“非”等运算符号、函数、 表达式等构成的代数系统。利用逻辑代数可以描 述任何复杂的电路中条件与输出结果间的逻辑关 系。★ 逻辑代数中也用字母表示变量 , 这种变量称为逻 辑变量。变量的取值只能是1或0,代表逻辑电路 中两种不同的逻辑状态，如开关的闭合与打开， 电路的导通与截止，电压与电流的有或无等。

1、基本逻辑运算1)逻辑“与”运算对于逻辑问题，如果决定某一事件发生的多个 条件必须同时具备，事件才能发生，则这种因果关 系称之为“与”逻辑。逻辑代数中，“与”逻辑关 系用“与”运算描述。 “与”运算又称为逻辑乘，其符号为“·”、 “∧”、“AND”。逻辑表达式：F=A·B=A∧B=1 (A、B均为1) 0 (A、B中任一为0)

2)逻辑“或”运算对于逻辑问题，如果决定某一事件发生的多个 条件中，只要有一个或一个以上条件成立，事件便 可发生，则这种因果关系称之为“或”逻辑。逻辑 代数中，“或”逻辑关系用“或”运算描述。

“或”运算又称为逻辑加，其符号为“ + ”、 “∨”、“OR”。逻辑表达式：F=A+B=A∨B=1 (A、B中任一为1)

0 (A、B均为0)

举例DC

DC

3)逻辑“非”运算对逻辑问题，如果某一事件的发生取决于 条件的否定，即事件与事件发生的条件之间构 成矛盾，则这种因果关系称为“非”逻辑。 逻 辑“非”又称为逻辑反运算. — 运算符号：“ ”(上面加横线) 逻辑表达式为：— F= A = 1 (A=0) 0 (A=1)

4)复合逻辑运算①与非逻辑 ②或非逻辑

③与或非逻辑④异或逻辑 ⑤同或逻辑8

3、逻辑函数 在数字电路中，如某一输出变量与一组输入变量存在着一定 对应关系，即输入变量取任意一组确定的值，输出变量的值 也就唯一地被确定，则称这种关系为逻辑函数关系。设输入 变量为A1,A2, An,输出变量为F,则：F=f(A1,A2, An)。 注意：1.无论自变量或函数均只能取0或1两值。函数和自变 量的关系只能由“与”、“或”、“非”三种基本运算来定 义。 2.设F1=f1(A1,A2, An),F2=f2(A1,A2, An),若对应 于 A1,A2, An 的任何一组取值， F1 和 F2 的值都相同，则称 函数F1和F2相等，记成F1=F2。9

2.2 逻辑代数的公理、定理及规则1.公理系统： (满足一致性、独立性和完备性)

交换律：A+B=B+A,A B=B A;结合律：(A+B)+C=A+(B+C); (A B) C=A (B C)

分配律：A+(B C)=(A+B) (

A+C)A (B+C)=A B+A C 0-1律：A+0=A,A 1=A;A+1=1,A 0=0 互补律：A+A=1,A A=010

2、基本定理(由上述公理推出下述基本定理)定理1:0+0=0,1+0=1,0+1=1,1+1=1 0·0=0,1·0=0,0·1=0,1·1=1 证明：由公理4(0-1律),分别以0和1代替A, 可得上述各式。 推论：1=0,0=1 证明：由公理5(互补律),分别以0和1代替A, 可得上述两式。

定理2:A+A=A,A· A=A (重叠律) 证明：A+A=(A+A)· 1 =(A+A)· (A+A) =A+(A· A) =A+0 =A 证明：A· A=A· A+0 =A· A+A· A =A(A+A) =A 公理4(0-1律) 公理5(互补律) 公理3(分配律) 公理5 公理4 公理4 公理5 公理3 公理412

定理3: A+A B=A (吸收律)证明：A+A B=A 1+A B =A (1+B) =A 1 =A 公理4(0-1律) 公理3 (分配律) 公理4 公理4 公理3

A (A+B)=A证明：A (A+B)=A A+A B =A+A B =A

定理4: A+A B=A+B (消因律)证明：A+A B=(A+A) (A+B)=1 (A+B) =A+B

(分配律)(互补律) (0-1律)

A (A+B)=A B 证明 : A (A+B)=A A+A B =0+A B =A B

(分配律) (互补律) (0-1律)

定理5: A=A (还原律)

证明 : 由公理5可以得出A=A

定理6:(摩根定理)(是最重要和有用的定理) A+B=A B A B=A+B 证明 :定义两组逻辑式为A+B和A B,则 (A B)+(A+B)=(A B+A)+B =(A+A B)+B =(A+A) (A+B)+B =1 (A+B)+B=(A+B)+B =A+1=1 (A B) (A+B)= A B A+A B B =B 0+A 0 =0+0=0

结合律 交换律 分配律

分配律 互补律16