高三理科数学一轮复习讲义,复习补习资料：第三章导数及其应用3.1变化率与导

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§3.1 变化率与导数、导数的计算

考纲展示► 1.了解导数概念的实际背景． 2．理解导数的几何意义．

3．能根据导数定义求函数y ＝c (c 为常数)，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3

，y ＝1x

的导数．

4．能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单复合函数(仅限于形如y ＝f (ax ＋b )的复合函数)的导数．

考点1 导数的概念及运算法则

1.导数的概念

函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数：

称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率lim Δx →0

Δy Δx

＝lim Δx →0

f

x 0＋Δx －f x 0

Δx

为函数y

＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝lim Δx →0

Δy

Δx

＝lim Δx →0

________.

函数f (x )的导函数：称函数f ′(x )＝ lim Δx →0

f x ＋Δx －f x

Δx 为f (x )的导函数．

答案：

f x 0＋Δx －f x

Δx

2．基本初等函数的导数公式

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续表

答案：0 αx α－1 cos x －sin x e x a x ln a x x ln a 3．导数的运算法则

(1)[f (x )±g (x )]′＝________；

(2)[f (x )g (x )]′＝________；

(3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x g x ′＝f x g x －f x g x [g x 2(g (x )≠0)．

答案：(1)f ′(x )±g ′(x )

(2)f ′(

x )g (x )＋f (x )g ′(x )

4．复合函数的导数

复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝________，即y 对x 的导数等于________的导数与________的导数的乘积．

答案：y u ′·u x ′ y 对u u 对x

(1)[

教材习题改编]在高台跳水运动中，t s 时运动员相对于水面的高度(单位：m)是h (t )＝－4.9t 2

＋6.5t ＋10.则运动员的速度v ＝________，加速度a ＝________.

答案：－9.8t ＋6.5，－9.8 (2)[教材习题改编]f (x )＝cos x 在点⎝ ⎛⎭

⎪⎫π2，0处的切线的倾斜角为________． 答案：3π4

导数运算中的两个误区：变量理解错误；运算法则用错．

(1)若函数f (x )＝2x 3＋a 2

，则f ′(x )＝________.

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- 3 - 答案：6x 2

解析：本题易出现一种求导错解：f ′(x )＝6x 2＋2a ，没弄清函数中的变量是x ，而a 只是一个字母常量，其导数为0.

(2)函数y ＝ln x e x 的导函数为__________． 答案：y ′＝1－x ln x x e x

解析：y ′＝1x ·e x －e x ·ln x x 2＝1－x ln x x e x ，易用错商的求导法则．

[典题1] 分别求出下列函数的导数：

(1)y ＝e x

ln x ； (2)y ＝x ⎝ ⎛⎭

⎪⎫x 2＋1x ＋1x 3； (3)y ＝x －sin x 2cos x 2

； (4)y ＝ln 1＋2x .

[解] (1)y ′＝(e x )′ln x ＋e x (ln x )′＝e x ln x ＋e x ·1x ＝e x ⎝ ⎛⎭

⎪⎫ln x ＋1x . (2)∵y ＝x 3＋1＋1x 2，∴y ′＝3x 2－2x 3. (3)∵y ＝x －12sin x ，∴y ′＝1－12

cos x . (4)∵y ＝ln 1＋2x ＝12

ln(1＋2x )， ∴y ′＝12·11＋2x ·(1＋2x )′＝11＋2x

. [点石成金] 导数的运算方法

(1)连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导．

(2)分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导．

(3)对数形式：先化为和、差的形式，再求导．

(4)根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导．

(5)三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导．

(6)复合函数：确定复合关系，由外向内逐层求导．

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考点2 导数运算的应用

[典题2] (1)[2018·吉林实验中学高三]函数f (x )的导函数f ′(x )，对∀x ∈R ，都有

f ′(x )>f (x )成立，若f (ln 2)＝2，则满足不等式f (x )>e x 的x 的范围是( )

A ．(1，＋∞)

B ．(0,1)

C ．(ln 2，＋∞)

D ．(0，ln 2)

[答案] C [解析] 设F (x )＝

f x

e

x

，F ′(x )＝

f x

x

－f x

x

x

2

＝

f x －f x

e

x

>0，

∴F (x )在定义域R 上单调递增，不等式f (x )>e x

即F (x )>1， ∵f (ln 2)＝2，∴F (ln 2)＝1，即F (x )>F (ln 2)， ∴x >ln 2，故选C.

(2)已知f (x )＝12x 2

＋2xf ′(2 016)＋2 016ln x ，则f ′(2 016)＝________.

[答案] －2 017

[解析] 由题意得f ′(x )＝x ＋2f ′(2 016)＋2 016

x

，所以f ′(2 016)＝2 016＋2f ′(2

016)＋2 0162 016

，即f ′(2 016)＝－(2 016＋1)＝－2 017.

(3)在等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，函数f (x )＝x (x －a 1)·(x －a 2)·…·(x －a 8)，则

f ′(0)的值为________．

[答案] 212

[解析] 因为f ′(x )＝x ′·[(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)]＋[(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)]′·x ＝(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)＋[(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)]′·x ，所以

f ′(0)＝(0－a 1)(0－a 2)·…·(0－a 8)＋0＝a 1a 2·…·a 8.因为数列{a n }为等比数列，所以a 2a 7

＝a 3a 6＝a 4a 5＝a 1a 8＝8，所以f ′(0)＝84

＝212

.

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