数学归纳法的原理和应用 - 论文大赛

时间：2025-05-26

浅谈数学归纳法证明不

等式

学校: 石楼中学

姓名: 张丽蓉

摘要

数学归纳法是数学证明中的一个基本方法，归纳法在分析、探索数学问题中有十分重要的作用，通过对数学问题的观察、分析、归纳而猜想出结论，并用数学归纳法证明是发现并证明数学问题的一种重要的思维方法。本文简单阐述了数学归纳法证明不等式的方法关键字：数学归纳法原理应用

Abstract

Mathematical induction is a basic method in mathematical confirm.It is important in analytical and explore mathematical problem. Using mathematical induction to confirm problem is a important method in discorvering and proving.Through observing ,analyzing and inducing ,conclusion can get.

Keywords: Mathematical induction theory application

3 1、简述数学归纳法

归纳法是人类认识自然、认识社会及认识自我的重要思想方法，是寻找真理和发现真理的主要手段，科学上的无数定理、定律都是归纳的结果。归纳法分为完全归纳法与不完全归纳法两种，在事物出现的各种可能性有限的情况下，用完全归纳法可以得出确定的结论。

用数学归纳法证明一个命题的步骤分为清楚的两步:

(1) 验证当n 取某一个自然数0n (即对于此命题的“最小自然数”) 时命题成立,说明命题在特殊情况下是正确的,其根据是自然数集的“最小数原理”[1] --即自然数集的每一个非空的子集必有最小数。这步可称为归纳奠基, 是论证的基础, 是命题得以成立的起点；

(2) 在假设当n 取某一自然数)(0n k k ≥时结论正确的前提下,严格推导出当n 取k 的后继自然数1+k 时命题也成立,说明命题的正确性是可以传递的, 从而具有普遍性。这步可称为归纳递推,是关键,其基本构思是“找出在1+=k n 时命题也能表现为类似k n =时的结果”。因此,归纳递推的基本构思在于设法使用归纳假设。

完成这两个步骤之后, 注意到证明步骤的完整与书写格式的规范,才可以也必须下结论:该命题对于一切自然数)(0n n n ≥都成立。

3.数学归纳法应用[3，4，5]

若与自然数有关的不等式证明题，可试用数学归纳法来证明，其证明的关键是；用假设k n =命题成立的条件来推断1k n +=命题成立的结论，要解决这个关键，可运用多种方法和技巧，使有关自然数n 的命题迅速获证。

3.1 放缩法

用数学归纳法证明不等式的难点是:如何利用归纳假设，在变形中，把不等式进行放大或缩小。例如在和式中舍去一些正(负)项或增加一些负(正)项，而使不等式的各项之和变小(大):在分式不等式中，可以通过放大或缩小分子或分母，从而使分式放大或缩小。

例1 :)2,(12131211222≥∈-<++++

n N n n n

证明:①当2=n 时，2

11411<成立 ②假设k n =时，k k 12131211222-<++++ 成立，则1k n +=时，两边加))1(1(2

+k 22222)1(112)

1(1131211++-<++++++k k k k

4 112)

1(2)1(122222+-=++-<+++-=k k k k k k k k k 根据①和②对任何2n ≥的自然数原不等式成立。

评注:在分式中千方百计，一凑假设，二凑结论，为向归纳假设靠近，分子需舍去1，分式值缩小，但差2

2)1(2++-k k k k 反而放大例2 求证2)(n ;n!21n 2≥>⎪⎭

⎫ ⎝⎛+ 证明：①当2n =时，24

12>不等式成立。 ②假设k n =时，2)(k ;k!21k 2≥>⎪⎭

⎫ ⎝⎛+成立于是2121)1(21212121)1(111k k k k k k k k k ⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡+++++ k

k k k k ⎪⎭⎫ ⎝⎛+∙++⎪⎭⎫ ⎝⎛+>++2121211 （上式舍去一些正项而得） ()()()!1!1211+=∙+>⎪⎭

⎫ ⎝⎛++=k k k k k k 1+=∴k n 时不等式成立 ③略

评注；在和式中舍去一些正项，使式子向求证不等式转化。

例3 已知: 三正数a, b,c 成等差数列，公差0≠d 。求证:对于1>n 的整数

永有n 2b .c a n n >+。

证明:设d b a -=, d b c +=

①当2n =时，左=2222222d 2b d)(b d)(b c a +=++-=+，

22222b c a 0,2d 0,d >+∴>∴≠ 成立

②设2)k(k n ≥=时不等式成立，k k k 2b c a >+，当1k n +=时k b 2b )a d(c )c b(a ,c d)(b a d)(b c c a a c a k k k k k k k k 1k 1k ∙>-++=∙++∙-=∙+∙=+++1k k k 1k k k 2b )a d(c 2b )a d(c ++>-+=-+。

若0,a c 0,d >>>又2k ≥，则k k a c >

5 若0<d ，则2k a,c 0≥<<，则k k a c <

1k 1k 1k k k 2b c a 0,)a d(c +++>+∴>-∴成立。

③根据①和②，原不等式对于大于1的整数成立。

评注:k k k 2b c a >+ ，把k k c a +用k

2b 代入，舍去正项)a d(c k k -，使问题得解。

3.2、替代法

为利用数学归纳法中的归纳假设，有时需用某些数(项)代替变形中的数(项)，从而使不等式获证。

例4:求证: 12n 2n +> （,N n ∈且3n ≥ 证明;① 3n =，13222+⨯>成立

②假设k n =时，12k 2k +>成立

当1k n +=时，即1)1(2222242),12(2221++>++=+>+>∙+k k k k k k k 成立。根据①和②，对任何3n ≥的自然数均成立，

评注:本题用1替代2k ，把等号变不等号，从而使不等式获证。