2018届高考数学二轮一元二次不等式及其解法 专题卷(江苏专用)

1 专题7.

2 一元二次不等式及其解法

【基础巩固】

一、填空题

1．已知函数f (x )＝x 2

＋ax ＋b (a ，b ∈R )的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f (x )<c 的解集为(m ，m ＋6)，则实数c 的值为________．

【答案】

9

2．对任意的k ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(k －4)x ＋4－2k 的值恒大于零，则x 的取值范围是________．

【答案】{x |x <1或x >3}

【解析】x 2＋(k －4)x ＋4－2k >0恒成立，

即g (k )＝(x －2)k ＋(x 2－4x ＋4)>0，

在k ∈[－1,1]时恒成立．

只需g (－1)>0且g (1)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－5x ＋6>0，x 2－3x ＋2>0，

解之得x <1或x >3.

3．(2015·江苏卷)不等式2x 2－x ＜4的解集为________．

2 【答案】{x |－1<x <2}

【解析】∵2x 2－x <4＝22，

∴x 2－x <2，即x 2－x －2<0，

解得－1<x <2.

4．若集合A ＝{x |ax 2－ax ＋1＜0}＝∅，则实数a 的取值范围是________．

【答案】[0,4]

【解析】由题意知a ＝0时，满足条件．

a ≠0时，由⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞0，Δ＝a 2－4a ≤0，

得0＜a ≤4，所以0≤a ≤4. 5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋2x ，x ≥0，－x 2＋2x ，x ＜0，则不等式f (x )＞3的解集为________．

【答案】{x |x ＞1}

【解析】由题意知⎩⎪⎨⎪⎧

x ≥0，x 2＋2x ＞3或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＜0，－x 2＋2x ＞3，解得x ＞1.故原不等式的解集为{x |x ＞1}． 6．(2017·盐城期中)若不等式x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是________．

【答案】[－

1,4]

7．(2017·扬州期末)若关于x 的不等式ax ＞b 的解集为⎝

⎛⎭⎪⎫－∞，15，则关于x 的不等式ax 2＋bx －45a ＞0的解集为________．

【答案】⎝

⎛⎭⎪⎫－1，45 【解析】由已知ax ＞b 的解集为⎝

⎛⎭⎪⎫－∞，15，可知a ＜0，且b a ＝15，将不等式ax 2＋bx －45a ＞0两边同除以a ，得x 2＋b a x －45＜0，即x 2＋15x －45＜0，解得－1＜x ＜45，故不等式ax 2＋bx －45a ＞0的解集为⎝

⎛⎭⎪⎫－1，45. 8．已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )＜0成立，则实数m 的取值范围是________．

【答案】⎝ ⎛

⎭

⎪⎫－22，0 【解析】二次函数f (x )对于任意x ∈[m ，m ＋1]，

都有f (x )＜0成立，

3 则⎩⎪⎨⎪⎧ f m ＝m 2＋m 2－1＜0，f m ＋1 ＝ m ＋1 2＋m m ＋1 －1＜0， 解得－22

＜m ＜0. 二、解答题

9．已知f (x )＝－3x 2

＋a (6－a )x ＋6.

(1)解关于a 的不等式f (1)＞0；

(2)若不等式f (x )＞b 的解集为(－1,3)，求实数a ，

b 的值．

10．某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件．若售价降低x 成(1成＝10%)，售出商品数量就增加85

x 成．要求售价不能低于成本价． (1)设该商店一天的营业额为y ，试求y 与x 之间的函数关系式y ＝f (x )，并写出定义域；

(2)若再要求该商品一天营业额至少为10 260元，求x 的取值范围．

解 (1)由题意得，y ＝100⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 10·100⎝ ⎛⎭

⎪⎫1＋850x . 因为售价不能低于成本价，所以100⎝ ⎛⎭

⎪⎫

1－x 10－80≥0. 所以y ＝f (x )＝40(10－x )(25＋4x )，

定义域为x ∈[0,2]．

(2)由题意得40(10－x )(25＋4x )≥10 260，

化简得8x 2－30x ＋13≤0.解得12≤x ≤134. 所以x 的取值范围是⎣⎢⎡⎦

⎥⎤12，2.

【能力提升】

11．(2016·苏北四市模拟)已知函数f (x )＝(ax －1)(x ＋b )，如果不等式f (x )＞0的解集是(－1,3)，则

4 不等式f (－2x )＜0的解集是________．

【答案】⎩

⎨⎧⎭⎬⎫x |x >12或x <－32

12．(2017·南通调研)已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，若不等式f (x )<0的解集为⎩⎨⎧⎭

⎬⎫x |x <12或x >3，则f (e x )>0(e 是自然对数的底数)的解集是________．

【答案】{x |－ln 2<x <l n 3}

【解析】法一 依题意可得f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12(x －3)(a <0)，则f (e x )＝a ⎝

⎛⎭⎪⎫e x －12(e x －3)(a <0)，由f (e x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫e x －12(e x －3)>0，可得12

<e x <3，解得－l n 2<x <ln 3. 法二 由题知，f (x )>0的解集为⎩⎨⎧⎭

⎬⎫x 12<x <3，令12<e x <3，得－ln 2<x <ln 3. 13．(2017·无锡模拟)已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋b 2

－b ＋1(a ∈R ，b ∈R )，对任意实数x 都有f (1－x )＝f (1＋x )成立，当x ∈[－1,1]时，f (x )>0恒成立，则b 的取值范围是________．

【答案】(－∞，－1)∪(2，＋∞)

【解析】由f (1－x )＝f (1＋x )知f (x )图象的对称轴为直线x ＝1，

则有a 2

＝1，故a ＝2. 由f (x )的图象可知f (x )在[－1,1]上为增函数．

∴x ∈[－1,1]时，f (x )min ＝f (－1)＝－1－2＋b 2－b ＋1＝b 2－b －2，