2013年高考二轮复习：第20讲复数、算法与推理证明

专题六

概率统计、算法、复数 与推理证明

第20讲 复数、算法与推理证明

考点统计考点 1 考点 2 复数 算法

题型(频率)选择(12) 选择(8) 填空(3) 选择(2)

考例(难度)2012 课程标准卷 3(A), 2012 安徽卷 1(A), 2012 陕西卷 3(A) 2012 课程标准卷 6(B),2012 陕西卷 10(B),2012 安徽卷 3(A),2012 广东卷 13(B) 2012 陕西卷 11(A),20112 江西卷 6(B)

考点 3 推理 与证明(合情推 理)

说明：A 表示简单题，B 表示中等题，C 表示难题. 频率为分析 2012 各省市课标卷情况.

命题角度：该部分的命题就是围绕两个点展开.第一个点 是围绕复数展开，设计考查复数的概念、运算的试题，目的是 考查对复数基础知识的掌握程度和基本的运算求解能力，试题 很简单；第二个点是围绕算法展开，设计以程序框图表达的算 法试题，目的是考查对算法的基本逻辑结构的认识，对算法功 能的认识，试题难度中等.至于推理与证明，理论上讲任何数 学试题的解答都离不开推理，所以我们在考点统计中没有进行 全面统计，只看合情推理、反证法和数学归纳法. 预计 2013 年对复数和算法的考查不会发生变化，即考查复 数的基本概念和运算，考查以程序框图设定的算法.但对合情 推理以及反证法和数学归纳法的考查，则可能出现新的试题.

复习建议：该部分中复数的内容非常简单，只要把概念 和运算法则弄清楚即可；算法的复习中要引导学生模拟框图 给出的算法进行计算，注重对算法中的判断条件的分析；在 推理与证明中适度注意合情推理问题及反证法和数学归纳 法.

1.复数 (1)复数的相等：a+bi=c+di(a,b,c,d∈R) a=c,b =d. (2)共轭复数：当两个复数实部相等，虚部互为相反数时， 这两个复数叫做互为共轭复数. (3)运算：(a+bi)± (c+di)=(a± c)+(b± d)i,(a+bi)· (c+di) ac+bd bc-da =(ac-bd)+(bc+ad)i,(a+bi)÷ (c+di)= 2 + i(c+ c +d2 c2+d2 di≠0). (4)复数的模：|z|=|a+bi|= a2+b2.

探究点一

复数的基本概念及其运算

2 例 1 (1)[2012· 课程标准卷] 下面是关于复数 z= 的 -1+i 四个命题：p1:|z|=2,p2:z2=2i,p3:z 的共轭复数为 1+i, p4:z 的虚部为-1,其中的真命题为( ) A.p2,p3 B.p1,p2 C.p2,p4 D.p3,p4 (2)[2012· 山东卷] 若复数 z 满足 z(2-i)=11+7i(i 为虚数单 位),则 z 为( ) A.3+5i B.3-5i C.-3+5i D.-3-5i

[思考流程] (1)(分析)欲作出判断需求出复数 z (推理)根 据除法法则求出复数 z (结论)结合选项作进一步计算后作出 判断； (2)(分析)欲求 z 先把 z 转化为两个复数相除 (推理)根据 除法法则计算之 (结论)根据计算结果确定选项.

[答案] (1) C (2

) A 2 2 -1-i [解析] (1)因为 z= = =-1-i,所以 -1-i -1+i -1+i z 的虚部是-1, z =-1+i, z = 2,z2= -1-i 2=2i.故 p2, p4 是真命题， p1,p3 是假命题，故选 C. 11+7i 11+7i 2+i 15+25i (2)z= = = =3+5i, 故选 A. 5 2-i 2-i 2+i

[点评] 复数的考查核心是代数形式的四则运算， 即使是概念 的考查也需要相应的运算支持. 本例第一题注意复数 z=a+bi(a, b∈R)中的 b 是虚部，不是 bi 为虚部，也就是说虚部是一个实数 不是纯虚数；本例第二题也可以设 z=a+bi(a,b∈R)代入 z(2- i)=11+7i 后进行乘法运算，然后根据两复数相等的充要条件得 出方程组求出 a,b.

探究点二 利用程序框图描述算法 例 2 (1)[2012· 课程标准卷] 如果执行图 6-20-1 所示的程 序框图，输入正整数 N(N≥2)和实数 a1,a2, ,aN,输出 A,B, 则( ) A.A+B 为 a1,a2, ,aN 的和 A+B B. 为 a1,a2, ,aN 的算术平均数 2 C.A 和 B 分别是 a1,a2, ,aN 中最大的数和最小的数 D.A 和 B 分别是 a1,a2, ,aN 中最小的数和最大的数

图 6-20-1

(2)[2012· 辽宁卷] 执行如图 6-20-2 所示的程序框图， 则输 出的 S 值是( )

A.-1

2 B. 3

图 6-20-2 3 C. D.4 2

[思考流程] (1)(分析)需要确定 A, 的含义 (推理)第一 B 个判断框执行后把两个数中的较大者赋给了 A, 逐个比较后 A 为所有数中的最大者，第二个判断框执行后把两个数中的较 小者赋给了 B,逐个比较后 B 为所有数中的最小者 (结论) 第三个判断框是循环结束的判断，即比较的是 n 个数中的最 大者与最小者； (2)(分析)欲求输出值只要模拟算法计算之 (推理)逐次 计算直到首次出现 i≥6 (结论)根据计算结果确定选项.

[答案]

(1)C

(2)A

[解析] (1)由程序框图可知，当 x>A 时，A=x;当 x≤A 且 x<B 时，B=x,所以 A 是 a1,a2, ,aN 中的最大数，B 是 a1, a2, ,aN 中的最小数.故选 C.