第3章 工程构件的静力学平衡问题

工程力学第三章 工程构件的静力学平衡问题

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第3章 工程构件的静力学平衡问题

§3-1 平面力系的平衡条件和平衡方程一、平面汇交力系平衡的条件 (1)几何法 汇交力系平衡的充要条件是： 力系的合力FR等于零，或力系的矢量和等于零。n

用矢量式表达为：

FR Fi 0i 1

汇交力系平衡的几何条件是： 力系的力多边形自行封闭。

FR

工程力学 (2)解析法

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汇交力系平衡的充要条件是：力系的合力等于零，即:

FR 满足

F F 2 xi yi

2

0

F

xi

0,

F

yi

0,

即:汇交力系的平衡条件是力系中各力在x轴和y轴投影 的代数和分别等于零。

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第3章 工程构件的静力学平衡问题

采用解析法求解平衡问题时，未知铰链约束反力的方向 一般不能直接确定

假设指向：一般假设为坐标轴的正向

计算结果为正 假设方向与实际方向相同

计算结果为负， 假设方向与实际方向相反

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第3章 工程构件的静力学平衡问题

【例】 水平力P作用在门式刚架的D点，如图所示，刚架的自重忽略不计。试求A、B两处的约束力。

解:1)选取刚架为研究对象 ； 2)画受力图； 3)建立坐标系，列平衡方程： y 2a C

Pa

D

Fxi 0, P FA cos 0 Fyi 0, FA sin FB 0cos 2a 5a a sin 5a

A FA O

5aFB

B x

5 P, 4)联立求解： FA 2

P FB 2

FA为负值，说明图中所假设的指向与其实际指向相反， FB为正值，说明图中所假设的指向与其实际指向相同。

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【例】一拱形桥由三个铰拱组成，如图所示。各拱重量不计，已知作用于点H的水平力Fp ,试求A、B、C和D处各 个支座反力。

解：首先对AE、EBF、FCG和GD,进行受力分析

y(1)取为GD研究对象， (2)建立平衡方程：

x FP cos 45° 0 Fxi 0,FG Fyi 0,FP sin 45° FD 0

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解得

2 FD FG FP 2

(2) 取FCG为研究对象，建立平衡方程 Fxi 0, FC cos 45° FG 0 Fyi 0, FC sin 45° FF 0 解得

y

x

FC FP

2 FF FP 2

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(3) 取EBF为研究对象，建立平衡方程

Fxi 0,FE FB cos 45° 0 Fyi 0,FF FB sin 45° 0 解得 2 FP FB FP FE 2 (4) 最后，取为AE研究对象。 FA FE

2 FP 2

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第3章 工程构件的静力学平衡问题

例 如图所示是汽车制动机构的一部分。司机踩到制动蹬上的力 P=212N,方向

与水平面成 =45 角。当平衡时，BC水平，AD 铅 直，试求拉杆 BC所受的力。已知 EA=24cm, DE=6cm 点 E在铅 直线DA上 ,又B、C、D 都是光滑铰链，机构的自重不计。A 24

PA

P

C O B D(a)

E

6

O

B

FB

FD

D(b)

解： (1) 取制动蹬ABD 作为研究对象。

工程力学 (3) 列出平衡方程：

第3章 工程构件的静力学平衡问题y

F F

xi yi

0 0FDO 45°

FB P cos 45 FD cos 0 FD sin P sin 45 0又 14 2'P

FBD(b)

x

sin 0.243 , cos 0.969联立求解，得

FB 750 N

例 已知重物P=20kN,

A

B

不计杆重以及滑轮尺寸,求杆AB和BC的受力. θ 30 解: 取B点分析 (假设均受拉)

θC

θP

Fy 0 FBC sin 30 FBD cos 30 P 0

D y B

所以 FBC = - 74.64kN (压)

FABFBCθ

FAB FBC cos 30 FBD sin 30 0所以 FAB = 54.64kN (拉)

Fx 0

θ

x

FBD

P

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求解汇交力系平衡问题的主要步骤和要点如下： 1)根据题意，选取研究对象； 2)画受力图。

3)作力多边形或列平衡方程。4)求解未知量并分析结果。

求解平面汇交力系平衡问题的重点是解析法。

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二、平面一般力系平衡的条件

平面一般力系平衡的充要条件是：力系的主矢和对任意点的主矩都等于零。 即

0 FR

Mo 0M O M O ( Fi )

2 2 其中 FR ( Fxi ) ( Fyi )

需要满足

F F m

xi

0 平面一般力系的平衡方程 yi ( F ) 0 O 0

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平面一般力系平衡的解析条件： 所有各力在两个任选的坐标轴上的投影的代数和

分别等于零，以及各力对于任意一点的矩的代数和也等于零。