函数中的任意和存在性问题

函数中的 任意和存在性问题

绍 兴 市 稽 山 中 学Shaoxing Jishan High School

引入： 引入：已知函数 f ( x ) = ( 2 a )( x 1) 2 ln x ,

g( x ) = xe 1 x , ( a ∈ R, e 是自然对数的底数) 是自然对数的底数)(1)当 a = 1 时，求 f ( x ) 的单调区间； 的单调区间；

1 上无零点， 的最小值； (2)若函数 f ( x ) 在 (0, ) 上无零点，求 a 的最小值； 2(3)若对任意给定的 x0 ∈ (0, e ],在 (0, e ]上总存在两 ，使得 成立， 个不同的 x i ( i = 1,2 ) 使得 f ( x i ) = g ( x0 ) 成立 ， , 取值范围。 求 a 取值范围。

问题一： 问题一： 已知函数 f ( x ) = 2k x + k , x ∈ [0,1] ,2

函数 g ( x ) = 3 x 2( k + k + 1) x + 5, x ∈ [ 1,0] ,2 2

k=2 当 k = 6 时，对任意 x1 ∈ [0,1] ,是否存在成立. x 2 ∈ [ 1,0] ,使 g ( x 2 ) = f ( x1 ) 成立.变式 1:对任意 x1 ∈ [0,1] ,存在 x 2 ∈ [ 1,0] , 成立， 的取值范围. 使得 g( x2 ) = f ( x1 ) 成立，求 k 的取值范围.f ( x ) 的值域是 g ( x ) 的值域的子集即可. 的值域的子集即可.

问题一： 问题一： 已知函数 f ( x ) = 2k x + k , x ∈ [0,1] ,2

函数 g ( x ) = 3 x 2( k + k + 1) x + 5, x ∈ [ 1,0] ,2 2

变式 1:对任意 x1 ∈ [0,1] ,存在 x 2 ∈ [ 1,0] , 成立， 的取值范围. 使得 g( x2 ) = f ( x1 ) 成立，求 k 的取值范围.变式 2:存在 x 1 ∈ [0,1] x 2 ∈ [ 1,0] ,使得

g( x2 ) = f ( x1 ) 成立，求 k 的取值范围. 成立， 的取值范围.g ( x ) 的值域与 f ( x ) 的值域的交集非空. 的值域的交集非空.

问题一： 问题一： 已知函数 f ( x ) = 2k x + k , x ∈ [0,1] ,2

函数 g ( x ) = 3 x 2( k + k + 1) x + 5, x ∈ [ 1,0] ,2 2

变式 2:存在 x 1 ∈ [0,1] x 2 ∈ [ 1,0] ,使得

g( x2 ) = f ( x1 ) 成立，求 k 的取值范围. 成立， 的取值范围.变式 3:存在 x1 ∈ [0,1] , x 2 ∈ [ 1,0] ,使得

g( x 2 ) > f ( x1 ) 成立， 求 k 的取值范围. 成立， 的取值范围.

gmin ( x ) < f min ( x )

问题一： 问题一： 已知函数 f ( x ) = 2k x + k , x ∈ [0,1] ,2

函数 g ( x ) = 3 x 2( k + k + 1) x + 5, x ∈ [ 1,0] ,2 2

变式 3:存在 x1 ∈ [0,1] , x 2 ∈ [ 1,0] ,使得

g ( x 2 ) > f ( x1 ) 成立， 求 k 的取值范围. 成立， 的取值范围.变式 4:对任意 x1 ∈ [0,1] ,存在 x 2 ∈ [ 1,0] , 成立， 的取值范围. 使得 g( x 2 ) < f ( x1 ) 成立，求 k 的取值范围.

gmax ( x ) > f min ( x )

变式 1:对任意 x1 ∈ [0,1] ,存在 x 2 ∈ [ 1,0] , 成立， 的取值范围. 使得 g( x 2 ) = f ( x1 ) 成立，求 k 的取值范围.变式 2:存在 x 1 ∈ [0,1] x 2 ∈ [ 1,0] ,使得

g( x2 ) = f ( x1 ) 成立，求 k 的取值范围. 成立， 的取值范围.变式 3:存在 x1 ∈ [0,1] , x 2 ∈ [ 1,0] ,使得

g ( x 2 ) > f ( x1 ) 成立，

求 k 的取值范围. 成立， 的取值范围.变式 4:对任意 x1 ∈ [0,1] ,存在 x 2 ∈ [ 1,0] , 成立， 的取值范围. 使得 g( x 2 ) < f ( x1 ) 成立，求 k 的取值范围.

浙江理) 问题二 (09 浙江理) 已知函数 f ( x ) = x 3 ( k 2 + k + 1) x 2 + 5 x 2 ,

g ( x ) = k 2 x 2 + kx + 1 ,其中 k ∈ R . g ( x ), x ≥ 0, 设函数 q( x ) = f ( x ), x < 0.任意给定的非零实数 存在惟一 是否存在 k ,对任意给定的非零实数 x1 ,存在惟一 成立？ 的非零实数 x 2 ( x 2 ≠ x1 ),使得 q' ( x 2 ) = q' ( x1 ) 成立？ 若存在,求 k 的值;若不存在,请说明理由. 若存在, 的值;若不存在 请说明理由.

小 结1.解题中要注意数学思想方法的应用 1.解题中要注意数学思想方法的应用:如转化与 解题中要注意数学思想方法的应用: 化归思想、数形结合思想、分类讨论思想等. 化归思想、数形结合思想、分类讨论思想等. 2.对函数中的存在性与任意性问题， 2.对函数中的存在性与任意性问题，可把相等 对函数中的存在性与任意性问题 关系问题转化为函数值域之间的关系问题，不 关系问题转化为函数值域之间的关系问题， 等关系转化为函数的最值问题。 等关系转化为函数的最值问题。