计算机图形学二维几何变换

时间：2025-04-30

计算机图形学二维几何变换

3.1 二维几何变换二维几何变换就是在平面上对二维点的坐标进行变换，从而形成新的坐标。主要包括：平移、比例、对称、旋转、错切、仿射和复合变换。

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3.1.1 二维平移变换

如图所示，它使图形移动位置。新图p‘的每一图元点是原图形p中每个图元点在x和y方向分别移动Tx和Ty产生， x'=x+Tx 所以对应点之间的坐标值满足关系式 y'=y+Ty 可利用矩阵形式表示成： [x‘ y']=[x y]+[Tx Ty] 简记为：P'=P+T,T=[Tx Ty] 是平移变换矩阵(行向量)。

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3.1.2 二维比例变换

如图所示，它改变显示图形的比例。新图形p'的每个图元点的坐标值是原图形p中每个图元点的坐标值分别乘以比例常数Sx和Sy,对应点之间的坐标值满足关系式 x'=x*Sx y'=y*Sy可利用矩阵形式表示成：

简记成p‘=P*S, 其中是比例变换矩阵。3

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3.1.3 二维对称变换二维对称变换(或称反射变换)是产生物体镜像的一种变换，该变换实际上是比例变换的几种特殊情况。 1、以y轴为对称线的对称变换 2、以x轴为对称线的对称变换 3、以原点为对称的对称变换 4、以直线y=x为对称线的对称变换 5、以直线y=-x为对称线的对称变换

矩阵表示形式为：矩阵表示形式为： [x’ [x’ y’]=[x y]*[ ]=[x ]=[ -x -y] y] -y] -x] y’]=[x y]*[ ]=[y ]=[x] -y4

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3.1.4 二维旋转变换

二维旋转变换：图形相对坐标原点的旋转如图所示，它产生图形位置和方向的变动。新图形p'的每个图元点是原图形p每个图元点保持离坐标原点距离不变并绕原点旋转θ角产生的，并以逆时针方向旋转为正角度，对应

图元点的坐标值满足关系式 x'=xcosθ-ysinθ

y'=xsinθ+ycosθ

用矩阵形式表示成[x’ y’]=[x y] ·[ 简记为P'=P· R,其中转变换矩阵。是旋

]

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3.1.5 二维错切变换

二维错切变换：是一种会使物体形状发生变化的变换。常用的错切变换有两种:2、图形沿y方向的错切数学表达式为:

1、图形沿x方向的错切

x'=x+SHx· y SHx≠0 x'=x y'= SHy· x+y SHy≠0 y'=y矩阵表示为

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3.1.6 二维仿射变换

二维仿射变换的形式为： x'=axxx+axyy+bx y'=ayxx+ayyy+by 变换的坐标x‘和y’都是原始坐标x和y的线性函数。参数aij和bk是由变换类型确定的常数。仿射变换具有平行线转换成平行线和有限点映射到有限点的一般特性。结论：平移、比例、对称、旋转和错切变换是二维仿射变换的特例，任何常用的二维仿射变换总可表示为这五种变换的组合。7

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3.1.7 二维复合变换

前面所讨论的图形变换是相对于坐标原点或坐标轴来进行的。在实际中，常常需要相对于任意点或任意轴来进行变换。为了做到这一点，可通过计算多个基本

变换矩阵的乘积来得到总的变换矩阵或称为复合变换矩阵，从而实现任意顺序的组合变换。常见的组合变换有： 1、绕任意点的旋转 2、相对任意点的比例变换8

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1、绕任意点(或称基准点)(xr,yr)的旋转

图形的原始位置

步骤(1)

步骤(2)

变换后的图形

(1)平移物体使基准点位置被移到坐标原点； (2)绕坐标原点旋转； (3)平移物体使基准点回到原始位置。9

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