高中数学北师大版选修2-1同步配套教学案：第三章3-1 椭圆

§1椭__圆

1．1椭圆及其标准方程

[对应学生用书P43]

设计游戏时，要考虑游戏的公平性．某电视台少儿节目欲设计如下游戏．规则是：参赛选手站在椭圆的一个焦点处，快速跑到随机出现在椭圆上的某一点处，然后再跑向另一个焦点，用时少者获胜．考验选手的反应能力与速度．

问题1：参赛选手要从椭圆的一焦点跑向椭圆上随机一点再跑向椭圆的另一焦点，每个参赛选手所跑的路程相同吗？

提示：相同．

问题2：这种游戏设计的原理是什么？

提示：椭圆的定义．椭圆上的点到两焦点距离之和为定值．

问题3：在游戏中，选手所跑的路程能否等于两焦点间的距离？为什么？

提示：不能．椭圆上的点到两焦点距离之和一定大于两焦点间的距离．

椭圆的定义

在平面直角坐标系中，已知A (－2,0)，B (2,0)，C (0,2)，D (0，－2)． 问题1：若动点P 满足|P A |＋|PB |＝6，则P 点的轨迹方程是什么？ 提示：x 29＋y 2

5

＝1.

问题2：若动点P 满足|PC |＋|PD |＝6，则动点P 的轨迹方程是什么？ 提示：y 29＋x 2

5

＝1.

椭圆的标准方程

1．平面内点M 到两定点F 1，F 2的距离之和为常数2a ， 当2a >|F 1F 2|时，点M 的轨迹是椭圆；

当2a ＝|F 1F 2|时，点M 的轨迹是一条线段F 1F 2； 当2a <|F 1F 2|时，点M 的轨迹不存在．

2．椭圆的标准方程有两种形式，若含x 2项的分母大于含y 2项的分母，则椭圆的焦点在x 轴上，反之焦点在y 轴上．

[对应学生用书P44]

[例1] (1)a ＝4，c ＝3，焦点在y 轴上； (2)a ＋b ＝8，c ＝4；

(3)经过点A (3，－2)和点B (－23，1)．

[思路点拨] 求椭圆的标准方程时，要先判断焦点位置，确定椭圆标准方程的形式，最

后由条件确定a 和b 的值．

[精解详析] (1)焦点在y 轴上，设标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)， 则a 2＝16，b 2＝a 2－c 2＝16－9＝7.

∴椭圆的标准方程为y 216＋x 27

＝1. (2)⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝8，a 2－b 2＝16⇒⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝8，(a ＋b )(a －b )＝16

⇒⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝8，a －b ＝2⇒⎩⎪⎨⎪⎧

a ＝5，

b ＝3. ∴椭圆的标准方程为x 225＋y 29＝1或y 225＋x 29

＝1. (3)法一：①当焦点在x 轴上时，设椭圆的标准方程为

x 2a 2＋y 2

b 2

＝1(a ＞b ＞0)． 依题意有⎩⎪⎨⎪⎧ (3)2a 2＋(－2)2b 2＝1，(－23)2a 2＋1b 2＝1，

解得⎩⎪⎨⎪⎧

a 2＝15，

b 2＝5. 所以所求椭圆的方程为x 215＋y 2

5

＝1. ②当焦点在y 轴上时，设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2

b

2＝1(a ＞b ＞0)．依题意有 ⎩⎪⎨⎪⎧ (－2)2a 2＋(3)2b 2＝1，1a 2＋(－23)2b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧

a 2＝5，

b 2＝15.舍去， 故所求椭圆的方程为x 215＋y 2

5

＝1. 法二：设所求椭圆的方程为mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0，且m ≠n )． 依题意有⎩⎪⎨⎪⎧ 3m ＋4n ＝1，12m ＋n ＝1，解得⎩⎨⎧ m ＝115，n ＝15.

所以所求椭圆的方程为x 215＋y 2

5

＝1. [一点通]

求椭圆标准方程的一般步骤为：

1．如果方程x 2a 2＋y 2

a ＋6

＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围是( ) A ．(3，＋∞)

B ．(－∞，－2)

C ．(－∞，－2)∪(3，＋∞)

D ．(－6，－2)∪(3，＋∞)

解析：由于椭圆的焦点在x 轴上，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＞a ＋6，a ＋6＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧

(a ＋2)(a －3)＞0，

a ＞－6.解得a ＞3或－6＜a ＜－2，故选D.

答案：D

2．已知椭圆的焦点在y 轴上，其上任意一点到两焦点的距离和为8，焦距为215，则此椭圆的标准方程为______________．

解析：由已知，2a ＝8,2c ＝215，∴a ＝4，c ＝15，

∴b 2＝a 2－c 2

＝16－15＝1，∴椭圆的标准方程为y 216＋x 2＝1. 答案：y 216

＋x 2＝1 3．求焦点在坐标轴上，且过点A (2,0)和B ⎝⎛⎭

⎫1，32的椭圆的标准方程． 解：法一：若焦点在x 轴上，设椭圆方程为x 2a 2＋y 2

b

2＝1(a >b >0)， 依题意，有⎩⎨⎧ 4a 2＝1，1a 2＋34b 2＝1，解得a 2＝4，b 2＝1.

若焦点在y 轴上，设椭圆方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)，同理⎩⎪⎨⎪⎧

a 2＝1，

b 2＝4，这与a >b 矛盾． 故所求椭圆方程为x 24

＋y 2＝1. 法二：设椭圆的方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )．

将A ，B 坐标代入得⎩⎪⎨⎪⎧ 4m ＝1，

m ＋34n ＝1，

解得⎩

⎪⎨⎪⎧ m ＝14，n ＝1，故所求椭圆方程为x 24＋y 2＝1.

[例2] 如图所示，已知椭圆的方程为x 24＋y 23

＝1，若点P 在椭圆上，F 1，F 2为椭圆的两个焦点，且∠PF 1F 2＝120°，求△PF 1F 2的面积．

[思路点拨] 因为∠PF 1F 2＝120°，|F 1F 2|＝2c ，所以要求S △PF 1F 2，只要求|PF 1|即可．可由椭圆的定义|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，并结合余弦定理求解．

[精解详析] 由已知a ＝2，b ＝3，

所以c ＝a 2－b 2＝1，|F 1F 2|＝2c ＝2，

在△PF 1F 2中，由余弦定理得

|PF 2|2＝|PF 1|2＋|F 1F 2|2－2|PF 1|·|F 1F 2|·cos 120°，

即|PF 2|2＝|PF 1|2＋4＋2|PF 1|.①

由椭圆定义，得|PF 1|＋|PF 2|＝4，

即|PF 2|＝4－|PF 1|.②

将②代入①解得|PF 1|＝65

， ∴S △PF 1F 2＝12|PF 1|·|F 1F 2|·sin 120°＝12×65×2×32＝335

. 因此所求△PF 1F 2的面积是35 …… 此处隐藏：8002字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……