高中数学第二章基本初等函数(Ⅰ)第2节对数函数(6)教案新人教A版必修1

时间：2025-04-28

第二节对数函数第六课时

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思路1.复习指数函数与对数函数的关系，那么函数y＝a x与函数y＝log a x到底还有什么关系呢？这就是本堂课的新内容——反函数，教师板书课题：对数函数及其性质(3)．思路 2.在比较系统地学习对数函数的定义、图象和性质的基础上，利用对数函数的图象和性质研究一些含有对数式的、形式上比较复杂的函数的图象和性质，特别明确了对数函数的单调性，并且我们通过对数函数的单调性解决了有关问题．因此，应搞清y＝a x与函数y＝log a x的关系，培养学生综合运用数学知识分析问题、解决问题的能力．教师点出课题：对数函数及其性质(3)．

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新知探究

提出问题

①用列表描点法在同一个直角坐标系中画出x＝log2y、y＝2x与y＝log2x的函数图象．

②通过图象探索在指数函数y＝2x中，x为自变量，y为因变量，如果把y当成自变量，x当成因变量，那么x是y的函数吗？

③如果是，那么对应关系是什么？如果不是，请说明理由．

④探索y＝2x与x＝log2y的图象间的关系．

⑤探索y＝2x与y＝log2x的图象间的关系．

⑥结合②与⑤推测函数y＝a x与函数y＝log a x的关系．

图7

②在指数函数y＝2x中，x是自变量，y是x的函数(x∈R，y∈R＋)，而且其在R上是单调递增函数．过y轴的正半轴上任意一点作x轴的平行线，与y＝2x的图象有且只有一个交点，即对任意的y都有唯一的x相对应，可以把y作为自变量，x作为y的函数．

③由指数式与对数式的关系，y＝2x得x＝log2y，即对于每一个y，在关系式x＝log2y 的作用之下，都有唯一确定的值x和它对应，所以，可以把y作为自变量，x作为y的函数，即x＝log2y.这时我们把函数x＝log2y〔y∈(0，＋∞)〕叫做函数y＝2x(x∈R)的反函数，但习惯上，通常以x表示自变量，y表示函数，对调x＝log2y中的x，y写成y＝log2x，这样y＝log2x〔x∈(0，＋∞)〕是指数函数y＝2x(x∈R)的反函数．由上述讨论可知，对数函数y ＝log2x〔x∈(0，＋∞)〕是指数函数y＝2x(x∈R)的反函数；同时，指数函数y＝2x(x∈R)也是对数函数y＝log2x〔x∈(0，＋∞)〕的反函数．因此，指数函数y＝2x(x∈R)与对数函

2 数y ＝log 2x 〔x ∈(0，＋∞)〕互为反函数．

以后，我们所说的反函数是x ，y 对调后的函数．如y ＝log 3x ，x ∈(0，＋∞)与y ＝3x (x ∈R )

互为反函数，y ＝log 0.5x 与y ＝0.5x (x ∈R )互为反函数．

④从我们的列表中知道，y ＝2x 与x ＝log 2y 的函数图象相同．

⑤通过观察图象可知，y ＝2x 与y ＝log 2x 的图象关于直线y ＝x 对称．

⑥通过②与⑤类比归纳知道，y ＝a x (a >0，且a ≠1)的反函数是y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)，且它们的图象关于直线y ＝x 对称．

由反函数的概念可知，同底的指数函数和对数函数互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称．

提出问题

用计算机在同一坐标系中作出下列函数的图象：①y ＝log 3x ；②y ＝log 3x ＋；③y ＝log 3x －

从图象上观察它们之间有什么样的关系？

用计算机在同一坐标系中作出下列函数的图象：①y ＝log 3x ；②y ＝log 3x ＋1；③y ＝log 3x －从图象上观察它们之间有什么样的关系？

你能推广到一般的情形吗？