数值分析(26) 线性多步法

数值分析

第三节 线性多步法单步法在计算yn 1时，只用到前一步的信息yn。 为提高精度，需重新计算多个点处的函数值，如R-K 方法，计算量较大。如何通过较多地利用前面的已知 信息，如yn,yn-1, ,yn -k ,来构造高精度的算法计算yn 1, 这就是多步法的基本思想。

数值分析

数值分析

多步法中最常用的是线性多步法，它的一般形式为

j 0 k 1 j 0

k

j

yn j h j f ( xn j , yn j )j 0

k

其中 j , j 均为常数.式中 k 0,上式也可表示为 y n k j y n j h j f ( x n j , y n j )j 0 2 若 0 02 0称为多步法。若 k=0时,为显式多步法； k

k 0时，为隐式多步法。构造线性多步公式常用Taylor展开和数值积分方法。数值分析

数值分析

一、线性多步公式的导出利用Taylor展开导出的基本方法是：将线性多步 公式在xn处进行Taylor展开，然后与y(x n+1 )在xn处的 Taylor展开式相比较，要求它们前面的项重合，由此 确定参数 i , i。

设初值问题的解y( x )充分光滑，待定的两步公式为 yn 1 0 yn 1 yn 1 h( 1 f n 1 0 f n 1 f n 1 )

数值分析

数值分析

( 记ynk ) y ( k ) ( xn ) ( k 1, 2, ), 则y( x )在xn处的

Taylor 展开为 y 2 y ( x ) yn y ( x x n ) ( x xn ) 2 ( p) yn p p 1 ( x xn ) O(( x xn ) ) p!' n '' n

假设前n步计算结果都是准确的，即yi y( xi ), y ( xi ) f ( xi , yi ) (i n), 则有'

数值分析

数值分析

'' yn 2 ' y n 1 y ( x n h) y n y n h h 2! ''' (4) (5) yn 3 yn yn h h4 h5 O ( h(6) ) 3! 4! 5! f n 1 f ( x n 1 , yn 1 ) y ' ( x n 1 ) ''' (4) (5) yn 2 yn yn ' '' 3 4 (5) yn yn h h h h O(h ) 2! 3! 4! ' f n f ( x n , yn ) yn

f n 1 f ( x n 1 , yn 1 ) y ( x n 1 )' ''' (4) (5) yn 2 yn yn ' '' yn yn h h h3 h4 O ( h(5) ) 2! 3! 4!数值分析

数值分析

将以上各公式代入并整理，得 yn 1 ( 0 1 ) yn ( 1 1 0 1 ) y h' n

1 1 1 1 ''' 3 '' 2 ( 1 1 ) y n h ( ) yn h 2 6 2 2 1 1 1 (4) 4 1 1 1 (5) 5 ( ) yn h ( ) yn h 24 6 6 120 24 24 6 O( h )yn 1 0 yn 1 yn 1 h( 1 fn 1 0 fn 1 fn 1 )数值分析

数值分析

为使上式有p阶精度，只须使其与 y( xn 1 )在 xn处的 Taylor 展开式'' (5) yn 2 yn 5 ' y ( x n 1 ) yn yn h h h O ( h6 ) 2! 5! 的前p+1项重合。

yn 1 ( 0 1 ) yn ( 1 1 0 1 ) y h' n

( (

12

1 1 ) y h ( '' n 2

16

12

12

)y h

''' n

3

1

24 6 O( h6 )

1

16

) y h ( (4) n 4

1120

124

124

)y h

(5) n

5

数值分析

数值分析

a0 a1 1 a 1 1 0 1 0 1 1 a1 1 1 2 2 1 a 1 1 1 6 1 2 1 2 1 6 1 a 1 1 1 24 1 6 1 6 1 24

5个参数,只须5个条件。由推导知，如果选取参数

i , i,使其满足前P 1个方程(p=1,2,3,4),则近似公式为p阶公式。数值分析

数值分析

1 如 0 1, 1 0, 1 0 , 1 0满足方程组前三个 2 h 方程，故公式 yn 1 yn ( f n 1 f n ) 2 此为二阶公式。

1 4 又如：解上面方程组得 0 0, 1 1, 1 1 , 0 3 3 相应的线性二步四阶公式(Simpson公式)为

yn 1

h yn 1 ( f n 1 4 f n f n 1 ) 3数值分析

数值分析

二、常用的线性多步公式 (1)阿达姆斯(Adams)公式 h yn 1 yn (55 f n 59 f n 1 37 f n 2 9 f n 3 ) 24 此式称为Adams显式公式，是四阶公式. 251 5 (5) 局部截断误差为 Rn 1 h y n O ( h6 ) 720h yn 1 yn (9 f n 1 19 f n 5 f n 1 f n 2 ) 24 为四阶Adams隐式公式，其局部截断误差为 Rn 1 19 5 (5) h y n O ( h6 ) 720

数值分析

数值分析

(2)基于数值积分的Adams公式

基本思想是首先将初值问题化成等价的 积分形式 y( xn 1 ) y( xn )

x n 1 xn x n 1 xn

f ( x , y( x ))dx F ( x )dx

用过节点xn , xn 1 , , xn k 或xn +1 ,xn , ,xn k 1的 F ( x )的k次插值多项式 k ( x )代替F ( x )求积分, 即得k 1阶的线性多步公式。数值分析

数值分析

例如k 3时，过节点xn , xn 1 , xn 2 , xn 3 , F ( x ) 的三次插值多项式为 L3 ( x ) li ( x )F ( xn i )i 0 3

其中 li ( x ) ( x xn )( x xn 1 )( x xn 2 )( x xn 3 ) ( x xn i ) ( xn i xn j )j 0 j i 3

( i 0,1, 2, 3)数值分析

数值分析

y ( xn 1 ) y ( xn )

x n 1 xn

L3 ( x )dx [ i 0 x n 1

3

x n 1 xn

l i ( x )dx ]F ( xn i )

( x xn 1 )( x xn 2 )( x xn 3 ) F ( xn ) dx 3 xn 6h xn 1 ( x x )( x x n n 2 )( x xn 3 ) F ( xn 1 ) dx 3 xn 2 h xn 1 ( x x )( x x n n 1 )( x xn 3 ) F ( xn 2 ) dx 3 xn 2h xn 1 ( x x )( x x n n 1 )( x xn 2 ) F ( xn 3 ) dx 3 xn 6 h h [55 F ( xn ) 59 F ( xn 1 ) 37 F ( xn 2 ) 9 F ( xn 3 )] 24数值分析

数值分析

对

上式用yn , yn 1代替y( xn ), y( xn 1 ), 用f k ( xk , yk ) 代替F ( xk ) f ( xk , y( xk )) ( k n, n 1, n 2, n 3), 则得 h yn 1 yn (55 f n 59 f n 1 37 f n 2 9 f n 3 ) 24 这就是四阶Adams显式公式。由于积分区间在插值 区间[ xn 3 , xn ]外面，又称为四阶Adams外插公式。由插值余项公式可得其局部截断误差为 Rn 1 x n 1 xn x n 1 xn

F (4) ( x ) 3 ( x xn j )dx 4! j 0 y (5) ( x ) 3 ( x …… 此处隐藏：1771字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……