【高考领航】2014高考数学总复习 第1节 坐标系课件 苏教版选修4-4

第 1节

坐标系

【知识梳理】 1. (1)设 P 的坐标为(x, y)是平面直角坐标系中任意一点. a=(h, x+h=x′ → → k)平移后的对应点为 P′(x′,y′),因为OP+a=OP′,则有 , y+k=y′

这种变换称为直角坐标系中的平移变换. (2)平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 设点 P(x , y) 是平面直角坐标系中的任意一点，在变换 φ : x (λ>0) x′= λ· 的作用下，点 y′= μ· y (μ>0)

P(x,y)对应到点 P′(x′,y′),

称 φ 为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称 伸缩变换 .

平面直角坐标系中的伸缩变换的过程 平面上一曲线 y=f(x)在变换 x′=λx φ: 的作用下. y′=μy

x=x′ λ y′ x′ 即 代入 y=f(x),得 =f( ) μ λ y ′ y= μ整理之后，就得到变换之后的曲线方程 y′=h(x′).

2.极坐标系的概念 (1)极坐标系 如图所示，在平面内取一个 定点 O,叫做极点，自极点 O 引一 条 射线 Ox, 叫做极轴； 再选定一个 长度单位 ， 一个 角度单位 (通 常取弧度)及其正方向(通常取 逆时针 方向),这样就建立了一个极 坐标系.

(2)极坐标 设 M 是平面内一点，极点 O 与点 M 的 距离|OM| 叫做点 M 的 极径，记为 ρ;以极轴 Ox 为始边，射线 OM 为终边的 角 xOM 叫 做点 M 的极角，记为 θ.有序数对 (ρ,θ) 叫做点 M 的极坐标，记作 M(ρ,θ) . 一般地， 不作特殊说明时，我们认为 ρ ≥ 0, θ 可取 任意实数 . 特别地，当点 M 在极点时，它的极坐标为 (0,θ) ,θ 可以取 任意实数 .

(3)点与极坐标的关系 一般地，极坐标(ρ,θ)与 (ρ,θ+2kπ )(k∈Z) 表示同一个点.特 别地，极点 O 的坐标为(0,θ)(θ∈R).和直角坐标不同，平面内一个 点的极坐标有 无数 种表示. 如果规定 ρ>0,0≤θ<2π ,那么除 极点 外，平面内的点可用 唯一 的极坐标(ρ,θ)表示；同时，极坐标(ρ,θ)表示的点也是 唯一 确定的.

3.极坐标和直角坐标的互化 (1)互化背景：把直角坐标系的原点作为 极点 ， x 轴的正半轴作为 极轴 ，并在两种坐标系中取相同 的 长度单位 ，如图所示. (2)互化公式： 设 M 是坐标平面内任意一点， 它的直角坐标是(x, y),极坐标是(ρ,θ)(ρ≥0),于是极坐标与直角坐标的互化公式如表：

点M 互化公式

直角坐标(x,y) x=ρcos θ y=ρsin θ

极坐标(ρ,θ) ρ 2=x2+y2 tan y θ = (x≠0) x

在一般情况下，由 tan θ 确定角时，可根据点 M 所在的象限取 最小正角.

4.常见曲线的极坐标方程 曲线 圆心在极点，半径为r 的圆 圆心为(r,0),半径为r 的圆 图形 极坐标方程 ρ=r(0≤θ< 2π) ρ=2rcos θ(- ≤ θ<

)

圆心为(r,),半径为r 的圆

ρ=2rsin θ(0≤θ<π)

过极点，倾斜 角为α的直线

(1)θ=α(ρ∈R)或θ= π+α(ρ∈R) (2)θ= α(ρ≥0)和θ=π+ α(ρ≥0)

过点(a,0)与 极轴垂直的直 线 过点(a,),与 极轴平行的直 线

ρcos θ=a(-<θ<)

ρsin θ=a(0<θ<π)

【基础自测】 1.极坐标方程(ρ-1)(θ-π )=0(ρ≥0)表示的图形是________. 解析：由(ρ-1)(θ-π)=0 可得 ρ=1 或 θ=π.

ρ=1 表示圆，θ=π(ρ≥0)表示一条射线.答案：一个圆和一条射线

x′=xsin 2.设在平面上伸缩变换的表达式为 y′=ycos 正弦曲线 y=sin x 变为方程：________. π 1 x=2x′, x′=xsin 6 =2x, 解析：∵ ∴ 2 3 π y= y′, y′=ycos = 3y, 3 6 2 代入正弦曲线 y=sin x 方程变为：

π 6 在此变换下， π 6

2 3 3 3 y′=sin 2x′,∴y′= sin 2x′,即 y= sin 2x. 3 2 2 3 答案：y= sin 2x 2

3.(2011· 高考北京卷)在极坐标系中，圆 ρ=-2sin θ 的圆心的 极坐标是：________. 解析：化成直角坐标方程：x2+y2+2y=0. π 圆心的直角坐标为(0,-1);化成极坐标为(1,- ). 2 π 答案：(1,- ) 2

4. 已知曲线 C1, C2 的极坐标方程分别为 ρcos θ =3, ρ=4cos θ π (ρ≥0,0≤θ< ),则曲线 C1 与 C2 交点的极坐标为________. 2 3 解析：把两极坐标方程联立得 cos2 θ= . 4 π π π 又 0≤θ< ,∴θ= ,ρ=2 3.故填(2 3, ). 2 6 6 π 答案：(2 3, ) 6

π 5.已知极坐标系中，极点为 O,0≤θ<2π ,M(3, ),在直 3 线 OM 上与点 M 的距离为 4 的点的极坐标为________. π 解析：如图所示，|OM|=3,∠xOM= , 3 在直线 OM 上取点 P,Q,使 |OP|=7,|OQ|=1, π 4π ∠xOP= ,∠xOQ= , 3 3 显然有|PM|=|OP|-|OM|=7-3=4, |QM|=|OM|+|OQ|=3+1=4. π 4π 答案：(7, )或(1, ) 3 3