椭圆知识点及习题

椭 圆

（1）第一定义——把椭圆从圆中分离

椭圆从圆（压缩）变形而来，从而使得椭圆与圆相关而又相异. 它从圆中带来了中心和定长，但又产生了2个新的定点——焦点. 准确、完整地掌握椭圆的定义，是学好椭圆、并进而学好圆锥曲线理论的基础.

【例1】 若点M到两定点F1（0，-1），F2（0，1）的距离之和为2，则点M的轨迹是 （ ）

A.椭圆 B.直线F1F2 C.线段F1F2 D.线段F1F2的中垂线.

【解析】注意到

F1F2 2,且MF1 MF2 2,故点M只能在线段F1F2上运动，即点M的轨迹就是线段F1F2，选C.

【评注】椭圆的定义中有一个隐含条件，那就是动点到两定点的距离之和必须大于两定点间的距离.忽视这一点，就会错误地选A.

（2）勾股数组——椭圆方程的几何特征 椭圆的长、短半轴a、b和半焦距c，满足个，继而写出椭圆方程和它的一切特征数值.

椭圆方程的标准式有明显的几何特征，这个几何特征就反映在这个勾股数组上. 所谓解椭圆说到底是解这个勾股数组. 【例2】已知圆A: x 3 y2 100，圆

2

.在a、b、c三个参数中，只要已知或求出其中的任意两个，便可以求出第3

，圆P过点B且与圆A内切，求圆心P的轨迹方程. A内一定点B（3，0）

【解析】如图，设两圆内切于C，动点P（x，y）， 则A、P、C共线. 连AC、PB，∵

PA PB AC 10

为定长，而A（-3，0），B（3，0）为定点，∴圆心P的 轨迹是椭圆.且a

5,c 3, b 4.所求轨迹方程为：

x2y2 1. 2516

（3）第二定义——椭圆的个性向圆锥曲线共性加盟

如果说椭圆第一定义的主要功能是导出了椭圆的方程，那么椭圆的第二定义则给椭圆及其方程给出了深刻的解释.根据这个解释，我们可以方便地解决许多关于椭圆的疑难问题.

【例3】已知椭圆例中项.

【解析】由椭圆方程知：a

x2y2

1，能否在此椭圆位于y轴左侧部分上找一点P，使它到左准线的距离是它到两焦点F1，F2距离的比43

2,b c 1,e

1

. 2

Y

H

椭圆的左准线为：l:x 4.设存在椭圆上一点P（x，y） （x<0）符合所设条件.作PH⊥l于H.令

d

PH d,PF1 r1,PF2 r2，则有： PH PF1 PF2 d2 r1r2.但是

2

F2(X

11

r1 ed d,r2 2a r1 4 d.

22

∴d

2

1 1 8812d 4 d d .又d x 4, x 4 .

2 2 555

这与x

2,2 矛盾.故在椭圆左侧上不存在符合题设条件的点.

● 通法 特法 妙法

（1）解析法——解析几何存在的理由

解析法的实质是用代数的方法学习和研究几何.在解析几何的模式下，平面上任意一条曲线都唯一对应着一个二元方程.反之，根据任意一个二元方程，都可以用描点法唯一地画出它所对应的曲线.因此，可以将几何问题转化为解方程、方程组或不等式.

【例4】点P（x，y）在椭圆4(x 2)

2

y2 4上，则

yx

的最大值为 （ ）

A.1 B.-1 C. 【解析】设

223 D. 33

y

k y kxx

2

1

y2

1上一点P（x，y） 方程（1）表示过椭圆 x 2 4

和原点的直线.显然当直线在椭圆上方且与椭圆相切时，k最大.将方程（1）代入椭圆方程得：

y x

4 x 2 k2x2 4 4 k2 x2 16x 12 0

2

2

由于直线与椭圆相切，故方程（2）应有相等二实根.由

256 48 4 k2 0 k2

4.∵k>0

，∴取k D. 3【评注】直线与曲线相切的解析意义是相应的一元二次方程有相等二实根，因而可转化为其判别式为零处理；同理，直线与曲线相交要求相应的判别式大于零，相离则要求这个判别式小于零.

（2）导数法——把方程与函数链接

由于解析法往往牵涉到比较繁杂的运算，所以人们在解题中研究出了许多既能减少运算，又能达到解题目的的好方法，导数法就是最为明显的一种.

x0xy0yx2y2

【例5】求证：过椭圆2 2 1上一点M x0,y0 的切线方程为：2 2 1.

abab

【证明一】（解析法）设所求切线方程为：

2

y y0 k x x0 ，代入椭圆方程：

b2x2 a2 kx kx0 y0 a2b2.化简得：

ka

2

2

b2 x2 2ka2 kx0 y0 x a2 kx0 y0 b2 0

2

2

2

1

∵直线与椭圆相切，∴方程（1）有相等二实根.其判别式△=0，即：

4k2a4 kx0 y0 4a2 k2a2 b2 kx0 y0 b2 0.

化简得：k

2

a

2

2

x0 2kx0y0 b2 y02 0

2

∵点M

x0,y0 在椭圆上，∴b2x02 a2y02 a2b2，方程（2）之判别式

222

1 4x0y0 4 a2 x0 b2 y02 4x02y02 4 a2b2 b2x02 a2y02 x02y02 0.

故方程（2）亦有相等二实根，且其根为：

x0y0b2x0y0b2x0y0b2x0

k 2 22 22 2

22

a x0ab b2x0ay0ay0

.则切线方程为：

b2x0xxyyy y0 2 x x0 .再化简即得：02 02 1.

ay0ab

x2y2

【证明二】（导数法）对方程2 2 1两边取导数：

abb2x02x2y y b2x

0 y 2 k 222abayay0

.则切线方程为：

b2x0xxyy

y y0 2 x x0 .再化简即得：02 02 1.

ay0ab

【评注】（1）两种证法的繁简相差多大，一看便知

（2）这个切线方程的实际意义很大.在有关运算中直接引用这个公式是十分省事的.

（3）几何法——为解析法寻根朔源

减少解析计算的又一个重要手段，是在解题中充分运用平面几何知识.

x2y2

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