2014人教数学必修五【课件】1.1.1正弦定理(一)

时间：2025-04-25

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1.1.1(一)

1.1.1【学习目标】

正弦定理(一)

1.掌握正弦定理的内容.本讲栏目开关

2.了解正弦定理的证明方法. 3.能初步运用正弦定理解三角形. 【学法指导】 1.学习本节内容时，要善于运用平面几何知识以及平面向量知识证明正弦定理. 2.应熟练掌握利用正弦定理进行三角形中的边角关系的相互转化.

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填一填·知识要点、记下疑难点

1.1.1(一)

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π A B C 1.在△ABC中，A+B+C= π , + + = 2 . 2 2 2 π a b 2.在Rt△ABC中，C= ,则c = sin A , c= sin B . 23.一般地，把三角形的三个角A,B,C和它们的对边 a,b,c叫做三角形的元素 .已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形 . 4.正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正 a b c = = 弦的比相等，即 sin A sin B sin C ,这个比值是

三角形外接圆的直径2R ________________________.

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研一研·问题探究、课堂更高效

1.1.1(一)

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探究点一

正弦定理的提出和证明

a 问题在直角三角形和等边三角形中，容易验证 = sin A b c = 成立，这一结论对更一般锐角三角形和钝 sin B sin C 角三角形还成立吗？

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1.1.1(一)

探究1 在锐角△ABC中，根据右图证明： a b c = = . sin A sin B sin C本讲栏目开关

证明根据三角函数的定义， CD CD sin A= ,sin B= . b a a b ∴CD=bsin A=asin B.∴ = . sin A sin B b c 同理，在△ABC中，sin B=sin C. a b c ∴sin A=sin B=sin C成立.

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研一研·问题探究、课堂更高效探究 2 在钝角△ABC 中(不妨设 A 为钝角), a b c 根据右图证明： = = . sin A sin B sin C 证明过C作CD⊥AB,垂足为D,D是BA延长线上一点，根据正弦函数的定义知： CD -A) b =sin∠CAD=sin(180° CD =sin A, a =sin B. a b ∴CD=bsin A=asin B.∴sin A=sin B. b c a b c 同理，sin B=sin C.故sin A=sin B=sin C.小结

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a b 综上可知，对于任意三角形，均有 sin A = sin B =

c sin C,此即正弦定理.

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探究点二本讲栏目开关

正弦定理的几何解释

问题如图所示，在Rt△ABC中，斜边c等于 a Rt△ABC外接圆的直径2R,故有 = sin A b c = =2R,这一关系对任意三角形 sin B sin C 也成立吗？

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研一研·问题探究、课堂更高效探究1 如图所示，锐角三角形ABC和它的 a 外接圆O,外接圆半径为R,等式 sin A b c = = =2R成立吗？ sin B sin C本讲栏目开关

1.1.1(一)

证明如图，因为△ABC为锐角三角形，连接BO交圆O于D,连接CD.a a 因为∠A=∠D,则在△BCD中，sin A=sin

D=2R. b c 同理，sin B=sin C=2R, a b c 所以sin A=sin B=sin C=2R成立.

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研一研·问题探究、课堂更高效探究 2 如图所示，钝角三角形 ABC,A 为钝角，圆 O 是它的外接圆，半径为 R,等式 a b c = = =2R 还成立吗？ sin A sin B sin C证明本讲栏目开关

1.1.1(一)

如图，当△ABC为钝角三角形时，

连接BO交圆O于D,连接CD, a a a ∠A=180° -∠D,所以 = = =2R. sin A sin 180° -D sin D b c 同理，sin B=sin C=2R, a b c 所以sin A=sin B=sin C=2R仍成立. a b c 小结综上所述，对于任意△ABC, sin A = sin B = sin C

=2R恒成立.

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研一研·问题探究、课堂更高效【典型例题】

1.1.1(一)

例1 在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c,若 A∶B∶C=1∶2∶3,则a∶b∶c等于 A.1∶2∶3本讲栏目开关

(

)

B.2∶3∶4 D.1∶ 3∶2

C.3∶4∶5

解析 ∵A+B+C=π,A∶B∶C=1∶2∶3, π π π ∴A=6,B=3,C=2,1 3 ∴sin A=2,sin B= 2 ,sin C=1.

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1.1.1(一)

a b c 设 = = =k(k>0),则 sin A sin B sin Ck 3 a=ksin A=2;b=ksin B= 2 k;c=ksin C=k; 1 3 ∴a∶b∶c=2∶ 2 ∶1=1∶ 3∶2,故选D.答案 D小结正弦定理在实现三角形的边角转化中非常方便，需要进行边角转化时，首先要考虑通过正弦定理来实现.

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研一研·问题探究、课堂更高效跟踪训练1

1.1.1(一)

在△ABC中，已知(b+c)∶(c+a)∶(a+b)= ( B )

4∶5∶6,则sin A∶sin B∶sin C等于 A.6∶5∶4 C.3∶5∶7本讲栏目开关

B.7∶5∶3 D.4∶5∶6

解析 ∵(b+c)∶(c+a)∶(a+b)=4∶5∶6,b+c c+a a+b b+c c+a a+b ∴ 4 = 5 = 6 .令 4 = 5 = 6 =k (k>0), 7 a= k 2 b+c=4k 5 则 c+a=5k ,解得 b=2k . a+b=6k 3 c=2k

∴sin A∶sin B∶sin C=a∶b∶c=7∶5∶3.

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