ch6_4现代功率谱估计

发布时间：2021-06-11

数字信号处理第二版陈后金

离散随机序列的特征描述平稳随机序列通过LTI系统平稳随机序列通过LTI系统经典功率谱估计现代功率谱估计

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现代谱估计简介问题提出平稳随机信号的参数模型 AR模型参数与自相关函数的关系 AR模型参数与自相关函数的关系 AR模型参数与线性预测滤波器的关系 AR模型参数与线性预测滤波器的关系 Y-W方程的L-D递推算法方程的L 伯格(Burg)递推算法伯格(Burg)递推算法利用MATLAB进行模型功率谱估计利用MATLAB进行AR模型功率谱估计进行AR功率谱估计

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问题提出经典法存在问题: 经典法存在问题: 1. 方差性能不好，不是Px( )的一致估计方差性能不好，不是的一致估计 2. 平滑周期图和平均周期图改善了周期图的方差性能，但却降低了谱分辨率和增大了偏差。性能，但却降低了谱分辨率和增大了偏差。 3. 可能使短序列的功率谱估计出现错误的结果出现问题的原因: 出现问题的原因: 将观测数据以外的数据一律视为零，与实际不符。将观测数据以外的数据一律视为零，与实际不符。功率谱估计

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参数模型法的基本思想根据所研究信号的先验知识，对观测数据以外根据所研究信号的先验知识，的数据作出某种比较合理的假设。的数据作出某种比较合理的假设。方法：方法： (1) 选择一个好的模型，在输入是冲激函数或白噪声选择一个好的模型，的情况下，使其输出等于所研究的信号，的情况下，使其输出等于所研究的信号，至少也是对该信号的一个良好近似。是对该信号的一个良好近似。 (2) 利用已知的自相关函数或数据求模型的参数。利用已知的自相关函数或数据求模型的参数。 (3) 利用求出的模型参数或数据估计该信号的功率谱。利用求出的模型参数或数据估计该信号的功率谱。

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平稳随机信号的参数模型平稳随机序列通过线性时不变系统的响应仍是平稳随机序列。平稳随机序列。因果线性时不变离散时间系统的系统函数为

B( Z ) = H (Z ) = A( Z ) 1+ ∑ a zl =1 p l n n =1 n

1+ ∑b zq

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平稳随机信号的参数模型AR模型 AR模型

H (z) =

1 1 + ∑ an zn=0q

1 = A( z )

MA模型 MA模型

H ( z ) = 1 + ∑ bl z ll =1

ARMA模型 ARMA模型

H (z) =

bl z l ∑ 1 + ∑ an zn=0 l =0 p n

B( z ) = A( z )

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平稳随机信号的参数模型若输入白噪声的功率谱

Pe ( ) = σ 2则输出序列的功率谱为

Px ( ) = H(e ) P ( ) = σ H(e ) e2

j 2

若能确定模型中各参数a 就可以求得功率谱P 若能确定模型中各参数an和bl就可以求得功率谱 x( )功率谱估计

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ARMA、MA和AR的关系、和的关系

任何有限方差的任何有限方差的ARMA或MA模型的

平或模型的平稳随机过程可以用无限阶的AR模型表示模型表示；稳随机过程可以用无限阶的模型表示；任何有限方差的任何有限方差的ARMA或AR模型的平或模型的平稳随机过程可以用无限阶的MA模型表稳随机过程可以用无限阶的模型表示；

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AR模型参数与自相关函数的关系 AR模型参数与自相关函数的关系描述模型的差分方程为描述AR模型的差分方程为

y[k ] + ∑ a y[k n] = η[k ]p n =1 n

将上式两端同乘以将上式两端同乘以y[k-m]再求数学期望，可得再求数学期望，再求数学期望

R [ m] = ∑ a R [ m n] + R [ m]p y n =1 n y yη

式中 R η [m]为输出与输入噪声序列的互相关函数。y

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AR模型参数与自相关函数的关系 AR模型参数与自相关函数的关系R [m] 可用系统的单位脉冲响应表示为yη

R [m] = h[ m] R [m] = σ h[ m]2 yη

对于因果系统，对于因果系统，上式可写为

0 R [ m] = σ h[ m]yη 2

m>0 m≤0

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AR模型参数与自相关函数的关系 AR模型参数与自相关函数的关系 P阶AR模型输出序列的自相关函数阶模型输出序列的自相关函数

R [ m] = ∑ a R [ m n]p y n =1 n y

m>0

上式就是著名的Y—W方程。方程。上式就是著名的方程

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AR模型参数与自相关函数的关系 AR模型参数与自相关函数的关系

Yule-Walker(Y-W)方程 ( ) R y [0] R [1] y R y [2] M R y [ p] R y [1] R y [0] R y [1] M R y [ p 1] R y [2] R y [1] R y [0] M R y [ p 2] L L L M L R y [ p ] 1 σ 2 R y [ p 1] a1 0 R y [ p 2 ] a 2 = 0 M M M R y [0] a p 0

若已知R 方程解出各参数a 若已知 y[n] ,由Y-W方程解出各参数 1, a2,…, 方程解出各参数 ap,则可由模型参数获得功率谱 y( )的估计值。则可由AR模型参数获得功率谱的估计值模型参数获得功率谱P 的估计值。功率谱估计

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AR模型参数与线性预测滤波器的关系 AR模型参数与线性预测滤波器的关系前向线性预测滤波器 y[k]的预测值 y[k ] 由其过去值 1], y[k 2],…, y[k p] 由其过去值过去值y[k 的预测值 … 的线性加权得到。的线性加权得到。前向预测误差f e p [k ] = y[k ] y[k ] = y[k ] + ∑ a p (n) y[k n] n =1 p

前向预测误差滤波器系统函数

1 + ∑ a p ( n) z nn =1f e p [k ]

功率谱估计

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AR模型参数与线性预测滤波器的关系 AR模型参数与线性预测滤波器的关系后向线性预测滤波器个数据预测数据y[k 由y[k],y[k 1], …, y[k p+1] p个数据预测数据 p] 个数据预

测数据

e b [k ] = y[k p ] y[k p ] 后向预测误差 p

= y[k p ] + ∑ a p (n) y[k + n p ]前向预测误差滤波器系统函数n =1

e b [k ] p

A b ( z ) = z p [1 + ∑ a p ( n ) z n ] = z p A ( z 1 )n =1功率谱估计

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Y-W方程的L-D递推算法方程的L(1) 计算自相关函数的估计值a1 , a 2 , L , a p , σ 2 (2) 由自相关函数的估计值，递推由自相关函数的估计值， p R y [1] σ 12 = R y [0](1 a11 ) 2 a1 (1) = R y [ 0]

R y [ p] + ∑ a p 1 (n) R y [ p n] a p ( p) = n =1

p 1

σ 2 1 p(n = 1,2,L , p 1)

a p (n) = a p 1 (n) + a p ( p)a p 1 ( p n)

σ 2 = [1 a p ( p ) ]2 σ 2 1 p p功率谱估计

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Y-W方程的L-D递推算法方程的L(3) 求出功率谱估计

PAR ( ) =

σ21 + ∑ an en =1 p 2 j n

功率谱估计

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伯格(Burg)递推算法伯格(Burg)递推算法L-D算法缺点：算法缺点：在计算相关函数估计时，在计算相关函数估计时，对N个观测数据以个观测数据以外的数据作零的假设，故谱估计误差较大。外的数据作零的假设，故谱估计误差较大。伯格(Burg)递推算法基本思想伯格(Burg)递推算法基本思想：递推算法基本思想：直接从观测的数据利用线性预测器的前向和后向预测的总均方误差之和为最小的准则来估计反射系数，进而通过L-D算法的递推公式求出算法的递推公式求出AR 反射系数，进而通过算法的递推公式求出模型优化的参数。模型优化的参数。功率谱估计

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伯格(Burg)递推算法伯格(Burg)递推算法伯格(Burg)递推算法步骤伯格(Burg)递推算法步骤 (1) 确定初始条件b e0f [k ] = e0 [k ] = y[k ]

1 2 σ0 = N

N 1 k =0

∑

y[k ]

(2) 从p=1开始迭代计算计算模型参数开始迭代计算: 开始迭代计算计算AR模型参数f 2 ∑ e p 1[k ]e b 1[k 1] p N 1

Kp =

k= p

N 1 k= p

∑

f {e p 1[k ] 2 + e b 1[k 1] 2 } p