《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教B版必修1指数函数与对数函

3.2.3 指数函数与对数函数的关系

一、基础过关

1．函数y＝3x(－1≤x<0)的反函数是

1A．y＝(x>0) 3

B．y＝log3x(x>0)

1C．y＝log3x(≤x<1) 3

11D．y＝(≤x<1) 33

2．已知函数y＝ex的图象与函数y＝f(x)的图象关于直线y＝x对称，则

A．f(2x)＝e2x (x∈R)

B．f(2x)＝ln 2·ln x (x>0)

C．f(2x)＝2ex (x∈R)

D．f(2x)＝ln 2＋ln x(x>0)

3．已知函数y＝logax与其反函数的图象有交点，设交点的横坐标为x0，则有

A．a>1且x0>1

B．0<a<1且0<x0<1

C．a>1且0<x0<1

D．0<a<1且x0>1

4．已知a>0且a≠1，函数y＝ax与y＝loga(－x)的图象可能是 ( )

( ) ( ) ( )

5．函数y1＝log3x与函数y2＝3x，当x从1增加到m时，函数的增量分别是Δy1与Δy2，则Δy1________Δy2.(填“>”，“＝”或“<”)

6．已知函数f(x)＝x－2x＋3，x∈(－∞，－1]．则其反函数f1(x)的定义域为________． －

7．若函数y＝log2x＋2的反函数的定义域为(3，＋∞)．求此函数的定义域．

18．已知yx＋a与函数y＝3－bx互为反函数，求a，b的值． 2

二、能力提升

9．已知图中曲线C1，C2，C3，C4分别是函数y＝logax，y＝logbx，y＝logcx，y＝logdx的图象，则a，b，c，d的大小关系是

A．d<c<b<a

B．c<d<a<b

C．b<a<c<d

D．c<d<b<a

10．函数f(x)＝ax＋loga(x＋1)在[0,1]上的最大值与最小值之和为a，则a的值为

A.14 B.12 C．2 D．4

11．函数y＝logax当x>2时恒有|y|>1，则a的取值范围是________．

12．设方程2x＋x－3＝0的根为a，方程log2x＋x－3＝0的根为b，求a＋b的值．

三、探究与拓展

13．已知函数f(x)＝loga(2x－1)(a>1)．

(1)求函数f(x)的定义域、值域；

(2)求函数f(x)的反函数f－1(x)；

(3)判断函数f－1(x)的单调性．

(

) ( )

答案

1．C 2.D 3.B 4.B

5．<

6．6，＋∞)

7．解 因函数y＝log2x＋2的反函数的定义域为(3，＋∞)，所以该函数的值域为(3，＋∞)， 所以log2x＋2>3，所以log2x>1，即x>2，所以函数y＝log2x＋2的定义域为(2，＋∞)．

18．解 ∵y＋a的反函数为y＝2x－2a应与函数y＝3－bx为同一函数， 2

3∴－2a＝3，且2＝－b，∴ab＝－2. 2

9．B 10．B

111．[，1)∪(1,2] 2

12．解 将方程整理得2x＝－x＋3，log2x＝－x＋3.

如图可知，

a是指数函数y＝2x的图象与直线y＝－x＋3交点A的横坐标，

b是对数函数y＝log2x的图象与直线y＝－x＋3交点B的横坐标．

由于函数y＝2x与y＝log2x互为反函数，

所以它们的图象关于直线y＝x对称，

由题意可得出A、B两点也关于直线y＝x对称，

于是A、B两点的坐标为A(a，b)，B(b，a)．

而A、B都在直线y＝－x＋3上，

∴b＝－a＋3(A点坐标代入)，

或a＝－b＋3(B点坐标代入)，

故a＋b＝3.

1113．解 (1)要使f(x)有意义，需2x－1>0，所以x>，故函数f(x)的定义域为(∞)，值22

域为R.

1111－(2)由f(x)＝loga(2x－1)，得2x－1＝ay.所以xy，所以f1(x)＝ax＋(x∈R) . 2222

(3) 函数f1(x)在R上是增函数．证明如下：任取x1，x2∈R，且x1<x2，

11111－－f1(x2)－f1(x1)ax2ax1－＝(ax2－ax1)． 22222－

∵a>1，x1<x2，∴ax2>ax1，ax2－ax1>0， ∴f1(x2)>f1(x1)． －－

∴函数f1(x)在R上是增函数． －