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第8章第二类拉格朗日方程及其应用

作业: 8-2;8-4;8-5

第8章第二类拉格朗日方程及其应用

第1节第二类拉格朗日方程

参考题:

8-1;8-8;8-12

2002年12月17日

2002年12月17日

广义坐标中的达朗伯广义坐标中的达朗伯 -拉格朗日原理第8章第二类拉格朗日方程及其应用理想完整约束系统:广义坐标为 q1, q2,…, qN N质点i矢径:完整 rδ ri=∑ iδ qk ri= ri ( q1,q 2,,qN, t) L qk k=1质系动力学普遍方程:∑ f iδ ri∑ mi aiδ ri= 0n n

∑ fδ r=∑∑ f qδ q{n N n i=1 i i k=1 i=1 i kn n

ri

i=1

i=1

k

理想

Qk广义主动力 N r&∑ mi aiδ ri=∑ mi ri&∑ qikδ qk i=1 i=1 k=1 N r n=∑∑ m i ri& iδ qk& qk k=1 i=1

∑ (Qk=1

N

k

*+ Qk )δ qk= 0

完整系统

{

Qk+ Qk*= 0广义主动力和广义惯性力相互平衡!

由动能定理到第二类拉格朗日方程第8章※动能定理:第动能是恒正的标量,运算方便;二能量在物理中具有普遍意义;类常用于求运动量,列运动微分方程;拉对单自由度问题能直接列出最终的运动微格分方程;朗只有一个方程,不能处理多自由度问题 .日方※第二类拉格朗日方程:程保持动能定理的优点;及把动能定理推广到多自由度问题.其※证明过程:应从广义坐标表示的动力学普遍方程出发;用

Qk*广义惯性力

模仿动能定理作变换,转换为用能量表示.

第二类拉格朗日方程第8章 d (m v) vdt= d (1 mv v )= d (1 mv 2 )= dT第 dt 2 2二 n& ri r& ri r ri类&i= i= d i Q *=∑ mi r& k& qk dt qk qk qk qk拉 i=1格 n n d m r ri+ m r d ri&= ∑ i&i朗 dt i=1 qk∑ i i dt qk i=1日 n n r& r&方&&= d∑ mi ri i+∑ mi ri i dt i=1 qk i=1& qk程及 n 1 n 1&&2= d ∑ mi ri 2+∑ mi ri其 dt qk i=1 2& qk i=1 2应 d T+ T用= dt qk qk&

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拉格朗日关系式第8章第二类拉格朗日方程及其应用ri= ri ( q1,q2,L,q N, t)& r r对 qk求导 r&i r ri=∑ i q j+ i&&= i q j t& qk qk j=1N

对t求导

& ri= qk

对qk求导

∑ q qj=1 j

N

2 ri

k

qj+&

N 2 r i ri q+ ri=& t qk∑ q j qk j t qk j=1

& ri r= d i qk dt qk交换对 t和对 qk的求导顺序

第二类拉格朗日方程第8章第 * Qk+ Qk= 0 Q *= d T+ T k dt qk qk二&类 d T T= Q, k= 1,2,L, N第二类拉格朗拉 k d t qk qk&日方程格如主动力都是有势力: Q k= V朗 qk日 d T T= V V= 0 d t q k qk qk方&& qk程 d L L= 0, k= 1,2, L, N主动力为势力时及 d t qk q k的拉格朗日方程&其 L= T–V—拉格朗日函数,或动势应用 d L L= Q, k= 1,2,L, N主动力既有势d t qk qk&k

拉格朗日方程的特点第8章第

二类拉格朗日方程及其应用拉格朗日方程的方程数等于质系自由度

数,是最少量方程不需要考虑理想约束的约束反力动能计算只需要分析速度,不需加速度拉格朗日方程是标量方程基于能量的方程,可推广至非机械(如

电磁)系统.

力又有非势力

拉格朗日方程的解题步骤第8章第二类拉格朗日方程及其应用判断是否理想完整约束,能否用拉氏方程;主动力是否有势,用何种形式的拉氏方程.确定系统的自由度数,选择广义坐标.按所选广义坐标,写出系统动能,势能或广义力.把动能,广义力或拉格朗日函数代入拉格朗日方程.共得N个二阶常微分方程.利用初始条件,求解拉格朗日方程. N个二阶常微分方程对时间积分时需要2N个初始条件: t= 0时给定:qk 0和

例1第8章第二类拉格朗日方程及其应用行星齿轮机构在水平面内运动.质量为 m的均质曲柄AB带动行星齿轮 II在固定齿轮I上纯滚动.齿轮II的质量为m2,半径为r2 .定齿轮I的半径为r1 .杆与轮铰接处的摩擦力忽略不计.当曲柄受力偶矩为M的常力偶作用时,用拉格朗日方程求曲柄的角加速度.

& qk 0

例1解第8章理想完整约束,一个自由度.第二取曲柄的转角为广义坐标.类 T= 1 (2m+9m 2 )(r 1+ r 2)2 2&拉 12格 Mδ Q==M朗δ T= 1 ( 2m+ m )(r+r ) 2日 9 2 1 2&& 6方程 d T T= Q及 d t &其应 6M 1 ( 2m+ 9 )(r+ r ) 2ε= Mε= m2 1 2 (2 m+9 m 2 )(r 1+ r2 )2用 6和动能定理结果一致

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例2第8章第用拉格朗日方程求椭圆摆的运动微分方程二类 m g y x拉 A x格 O朗日方程 B及 m g其应用A B

例2第8章第二类拉格朗日方程及其应用理想完整约束,有势,二个自由度.取x和为广义坐标系统的势能为 V= mBg l cos系统的动能为O y xmA g

解第8章第二类拉格朗日方程及其应用

例2L= 1 m A x 2+ 1 mB (x 2+ l 2 2+ 2lx cos )+ m B gl cos&&&&& 2 2 L L d= 0, k= 1,2 d t q k q k&d L= ( m+m )x+ m l cos m l& 2 sin&&&& A B B B dt x&

A B

x

L= 0 x

( )

L= (m+ )&+ m l cos& A m B x B& x

(m A+m

B

mB g 2 2 T= 1 m Av A+ 1 m B vB 2 2&&&&&= 1 m A x2+ 1 m B ( x 2+ l 2 2+ 2 lx cos ) 2 2

&& )&&+ mB l cos mB& 2 sin= 0 x l

动量方程

L= m l x sin m g l sin& B& B

系统的拉格朗日函数为L= T V

d L= m l 2+ m lx cos m l x sin&&&&&& B B B dt &&&+&&cos+ g sin= 0 l x

L= m l 2+ m lx cos& B B&&

动能定理

同时导出 2个方程,而动能定理只得 1个方程.

例3第8章第二类拉格朗日方程及其应用半径为R的圆环在力偶矩为M的力偶作用下以角速度ω匀速转动,质量为m的小环可在圆环上自由滑动.已知圆环对y轴的转动惯量为 J,忽略

摩擦力.求为使圆环匀角速转动所需施加的力偶矩 M.M

例3第8章第二类拉格朗日方程及其应用&解除匀速转动约束=ω,代之于约束反力M.系统具有两个自由度,取θ和为广义坐标. mg为势力, M不是势力.M

解第8章第二类拉格朗日方程及其应用

例3d L L= Q dt &

解

y O RRθ

y xRθ

&& M= ( J+ mR 2 sin 2θ )&&+ 2 mR 2θ sinθ cosθ

x

m

O& L= 1 ( J+ mR 2 sin 2θ ) 2+ R 2 1 mR 2θ& 2+ mgR cosθ m 2 Mδ Q==Mδ L= 0 L= (J+ mR2 sin2θ )&& d L= (J+ mR 2 sin 2θ )&&+ 2 mR 2θ sinθ cosθ&& dt &

&&&将约束条件=ω和= 0代入上式,即得为使圆环匀角速转动所需施加的力偶矩 M为& M= 2mR2θω sinθ cosθ

还有对自由度θ的一个方程d dt L L= Q&θθθ

Qθ= 0

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例4第8章第用拉格朗日方程列写系统的运动微分方程.二 y类 xr O′拉 C x&格 vC& xr x朗 xα日 O方程及其应用

例4第8章理想完整约束,有势,二个自由度.第二取x和xr为广义坐标.类& x2&&&&& T= 1 Mx2+ 1 m ( x2+ xr2+ 2 xxr cosα )+ 1 1 mr 2 r 2 2 22 r2拉格= 1 ( M+ m )x 2+3 mxr2+mxxr cosα&&&& 2 4朗 V= mgx r sinα日方 L= 1 ( M+ m )x 2+ 3 mxr2+ mxxr cosα+ mgx r sinα&&&& 2 4程 y及 xr O′&其 C x vC应 xr& x用 xαO

解第8章第二类拉格朗日方程及其应用

例4L= 1 ( M+ m )x 2+ 3 mxr2+ mxxr cosα+ mgx r sinα&&&& 2 4 L= 0 L= ( M+m )&x+mx cosα&r x& x

解

d L= ( M+m )x+ mx cosα&&&&r dt& x L= 3 mx+ mx cosα L= mg sinα&&& xr 2 r xr L 3&& d&&= mx+ mx cosα d t x r 2 r&

( )

&& x: ( M+ m )&&+ mxr cosα= 0 x 3 mx+ mx cosα mg sinα= 0 xr:&&&& 2 r

d L L= 0, k= 1,2 d t q k q k&

例5第8章第二类拉格朗日方程及其应用已知: m, M, k, a.求:系统运动微分方程.

yO′

xrC

& x& xrα

x O

vC

对比x

例5解第8章第选x, xr为广义坐标, xr从静伸长位置起算 .二 T= 1 Mx 2+ 1 m( x 2+ x2+ 2 xx r cosα )&&&&& r 2 2类 V= 1 k (x r+δ s ) 2 mg sinα x r拉 2格 d L L= 0, k= 1,2朗 d t q k q k&日方程及其应 x x ( M+ m )&&+ m cosα&&r= 0 kδ= mg sinα用 s&&&& m cosα x+ mxr+ kxr= 0

例5第8章第二类拉格朗日方程及其应用yO′

解xrC

& xxr&

x O

vC

α

x

x: (+ m)&&+ mxr cosα= 0 M x&& 3 mx+ mx cosα mg sinα= 0&&&& xr: 2 rx x ( M+ m )&&+ m cosα&&r= 0&&&& m cosα x+ mxr+ kxr= 0

对比