2_1_2向量矩阵的概念与运算

数学

第2章 向量与矩阵

1 向量的概念与运算2 矩阵的概念与运算

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第1节

向量的概念与运算向量的概念

1.1

定义1 n个数a1,a2, ,an组成的有序数组 (a1, a2, , an), 称为n维向量，记为a,其中a i (i=1,2,…,n)叫做向量的第i个分量.n维向量写成行的形式，称为行向量，记为

a=(a1, a2, , an),写成列的形式，称为列向量，记为

a=

a1 a2 . an返回 下页 结束

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本教材约定向量的形式为列向量，即

a=

a1 a2 . an

T 为向量a的负向量，记作- a . 称向量 (-a1, -a2, , -an) , T 称向量 (0, 0, , 0) 为零向量，记作o .

如果向量a=(a1, a2, , an)T与向量b=(b1, b2, , bn)T都是n维向量，且对应的分量都相等，则称它们相等，记作a=b.

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1.2定义2

向量的运算T

设 α = ( a1 , a2 , , an , β = ( b1 , b2 , , bn T , 则

向量的加法(1) α + β = ( a + b , a + b , , a + b T 1 1 2 2 n n

向量的数乘(2) kα = ( ka1 , ka2 , , kan T

, k为常数.

向量满足以下8条运算规律(设a、b、g都是n维向量，k、l为实数):

(1)a +b =b +a (2)a +(b +g )=(a+b )+g (3)a+o=a (4)a+(-a)=o《线性代数》 返回

(5)(k+l)a=ka+la (6)k(a+b)=ka+ kb (7)(kl)a= k(la) (8)1 a=a下页 结束

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向量的减法设a , b都是n维向量，利用负向量可定义向量的减法为:

a - b = a + (- b ) ,即对应分量相减. 1 2 0 a = -2 , b = -1 , g = 1 例1.设 0 3 -1

, 求 2a - 3b + g .

解： a - 3b + g 2

1 2 0 = 2 -2 - 3 -1 + 1 0 3 -1

2 6 0 -4 = -4 - -3 + 1 = 0 . 0 9 -1 -10

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例2.设

1 2 a = -2 , b = -1 , 0 3

且a + 2g =b , 求g .;两边加a 的负向量;交换律 ；约定(减法) ;性质4 ;性质3 ;数乘运算 ；恒等变换 ；性质8

解： a+2g+(-a)=b+(-a)

a+(-a) +2g =b+(-a) a+(-a) +2g =b-ao+2g =b-a 2g =b-a ½*2g = ½ *(b-a) 1g = ½ *(b-a)

g = ½ *(b-a)

(计算结果，略.)说明：实际运算时，一般给出主要步骤即可，但应注意与数的运算的区别.《线性代数》 返回 下页 结束

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向量的内积 定义3 设a=(a1, a2, , an )T与b=(b1, b2, , bn )T是两个n维向量， 则实数

a bi =1

n

i i

= a1b1 + a2b2 + ... + anbn

称为向量a和b的内积，记为(a , b ),或aT b. 即(a , b ) =

ai bi = a1b1 + a2b2 + ... + an bn .i =1 n

例如，设a=(-1, 1, 0, 2)T,b=(2, 0, -1, 3)T , 则a与b 的内积为 (a , b ) =(-1) 2+1 0+0 (-1)+2 3=4.

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向量的内积定义3 设a=(a1, a2, , an )T与b=(b1, b2, , bn )T是两个n维向量，

则实数

a bi =1

n

i i

= a1b1 + a2b2 + ... + anbn

称为向量a和b的内积，记为(a , b ),或aT b. 内积的性质 设a,b,g 为任意n维向量，k为常数. (1) ( a,b ) =(b,a ) ;

(2) (ka,b ) = k ( a,b ) ;(3) (a+b,g ) = ( a,g ) + ( b, g ) ; (4) ( a,a ) 0,当且仅当a=o时，有( a,a ) =0 .

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向量的长度 定义4 对于向量a=(a1, a2, , an )T,其长度(或模)为

|| a ||= (a , a ) = a12 + a2 2 + + an 2 .例如，向量a=(-3, 4)T的长度为

|| a ||= (a , a ) = ( -3) 2 + 4 2 = 5 .向量长度的性质(了解) (1) ||a || 0,当且仅当a=o时，有||a ||=0; (2) || ka ||=|k| ||a || (k为实数); (3) 三角不等式: ||a + b || ≤ ||a|| + ||b|| ;

(4)对任意向量a,b,有 |(a ,b | ||a || ||b || .

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向量的单位化(标准化)长度为1的向量, 称为单位向量. 若非零向量a 的长度不等于1,令

a a = || a ||0

则a0 为单位向量，并称其为a 的单位向量. 由a 到a0 的运算，称为向量a 的单位化(标准化).

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正交向量组与标准正交向量组 定义5 如果向量a与b为非零向量，它们的夹角θ定义为

(a , b ) = arccos || a || . || b ||若(a , b =0,则称向量a与b互相正交(垂直).

例3.零向量与任意向量的内积为零，因此零向量与任意向量正交.

例4.n维单位向量组e1,e2, ,en,是两两正交的，即(ei ,ej ) =0 (i j) .

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定义6 如果m个非零向量组 a1, a2, , am两两正交，即 (ai ,aj ) = 0 (i j;i , j=1,2,…,m),

则称该向量组为正交向量组.如果正交向量组a1, a2, , am的每一个向量都是单位向量, 则称该向量组为标准正交向量组.

第2节

矩阵的概念与运算矩阵的概念

2.1

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2.1.0 问题的提出先看下面的两个同解方程组(1)和(2):

x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 7 3x + 2 x + x + x - 3x = -2 (1) 1 2 3 4 5 x2 + 2 x3 + 2 x4 + 6 x5 = 23 5 x1 + 4 x2 + 3x3 + 3x4 - x5 = 12 (2) x3 - x4 - 5 x5 = -16 x1 x2 + 2 x3 + 2 x4 + 6 x5 = 23 显然方程组(2)比(1)简洁,求解容易,那么,怎样完成由(1)到(2)的变化呢？初等行变换

方程组(1)

矩阵