浙江省2012四校联考数学(理)答案及评分标准

2012届浙江省三校高三数学联考卷

数学（理）参考答案

一．选择题：

二．填空题：

11．2

12. 13．2 14．8 15．35 16．k 2 17． 3 b 2

2

三．解答题：

2an 11112 a 0, ，19．（本小题满分14分）（1） 由题意知n， an 13anan3an3

1an 1

1

1 112

， 1 ……………………………… 4分 1 3 a13 an

1 21

1 是首项为，公比为的等比数列；……………5分 所以数列

33 an 5 1

1 1 an 3 3 1

n 1

23

n

， an

3

n

n

3 2

……………………8分 1 1

1 t 3

1an 1

1an

n 1

（2）由（1）知由a1 0,an 1

1an 1

3an

1 11

， 1 1 1 3 anan

……………10分

2an 1

知an 0，故an 1 an得

……………11分

11111

即( 1)()n 1 ( 1)()n 1 1 得 1 0，又t 0，则0 t 1…………14分

t3t3t

1

20.（本小题满分14分）（1）∵AD // BC，BC=AD，Q为AD的中点，

2

∴四边形BCDQ为平行四边形，∴CD // BQ ． ∵∠ADC=90° ∴∠AQB=90°

即QB⊥AD．

又∵平面PAD⊥平面ABCD 且平面PAD∩平面ABCD=AD，

∴BQ⊥平面PAD． ∵BQ 平面PQB，

∴平面PQB⊥平面PAD． ……………………7分 另证：AD // BC，BC=

1

2

∴CD // BQ ．∵ ∠ADC=90° ∴∠AQB=90°． ∵ PA=PD， ∴PQ⊥AD．

∵ PQ∩BQ=Q， ∴AD⊥平面PBQ． ∵ AD 平面PAD，

AD，Q为AD的中点， ∴ 四边形BCDQ为平行四边形，

∴平面PQB⊥平面PAD．……7分

（2）∵PA=PD，Q为AD的中点， ∴PQ⊥AD．

∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，

∴PQ⊥平面ABCD．

如图，以Q为原点建立空间直角坐标系．

则平面BQC的法向量为n (0,0,1)；

Q

(0,0,0)，P

(0,，B

0)，C( 0)．

设M(x,y,z

)，则PM (x,y,z

，

MC ( 1 xy, z)，∵PM tMC，

t

x 1 t

x t( 1 x)

∴

y ty)，∴

y ……………………12分

1 t

z t( z） z

1 t

在平面MBQ

中，QB (0,

0)，QM (

t

1 t1 t1 t

，

∴ 平面MBQ

法向量为m 0,t)．

n m

∵二面角M-BQ-C为30°，

cos30

nm

2

∴ t 3． ……………………14分 注：此小题若用几何法做也相应给分。

21. 解：解:(1)由题意,可设抛物线方程为y 2px p 0 . …………1分

2

由a2 b2 4 3 1,得c 1. …………2分

抛物线的焦点为 1,0 , p 2. …………3分

2

抛物线D的方程为y 4x. …………4分

(2)设A x1,y1 ,B x2,y2 . …………5分

i 直线l的方程为：y

x 4, …………6分

y x 4联立 2,整理得:x2 12x 16 0 …………7分

y 4x

AB=

(1 1)[ x1 x2 4x1x2 4

.…………9分

2

2

22. （1）当a 0时，f(x)

xlnx

，f (x)

lnx 1lnx

2

……………1分

当x e时，f (x) 0，所以f(x)在(e, )上是增函数 ……………4分 而3e 2e e 2e 1 e， f(3e) f(2e 1) ……………6分

（2）函数f(x)的图象总在函数F(x)的图象的上方等价于f(x) F(x)恒成立，

即

x alnx

在(0,1) (1, )上恒成立． ……………7分

x alnx

x a x

① 当0 x 1时，lnx 0，则

令g(x) x

xlnx

xlnx，g (x)

2x 2 lnx

2x 1x

，

x

再令h(x)

2x 2 lnx，h (x) ……………8分

当0 x 1时，h (x) 0，∴h(x)在(0,1)上递减，

∴ 当0 x 1时，h(x) h(1) 0， …………9分

∴g (x)

h(x)2x

0，所以g(x)在(0,1)上递增，g(x) g(1) 1，

∴ a 1 ……………10分