2013届高考理科数学总复习(第1轮)广西专版课件：6.2均值不等式

第六章 不等式第 讲

考

●利用基本不等式证明不等式

点搜

●运用重要不等式求最值●重要不等式在实际问题中的应

索高

用

在求函数的最值和实际问题中运 考 用重要不等式，选择题、填空题或解 猜 答题中均可能作为工具出现. 想

一、算术平均数与几何平均数定理 1.若a>0,b>0,则称_______为两个正 2 数的算术平均数，称_______为两个正数的几 ab 何平均数. 2.如果a、b为实数，那么a2+b2≥2ab 2 2 a b ab≤_______,当且仅当a=b时取“=”号. 3.如果a、b为正实数，那么 2 a b 2 ≤_______,当且仅当a=b时取等号. ( )22

a b

a b

ab ab

大 如果a+b为定值P,那么ab有最____值，为 P ( ) ____;如果ab为定值S,那么a+b有最___值,为____. 小 2 S 2 这一结论称为均值定理.其应用的三个条件依次 为_____、_____、 _______. 一正 二定 三相等 二、不等式恒成立问题2

不等式a≥f(x)恒成立，[f(x)]max存在 a≥[f(x)]max _______________,不等式a≤f(x)恒成立， [f(x)]min存在 _______________. a≤[f(x)]mix

1.若x,y∈R+,且x+y=s,xy=p,则下列命题中 正确的是( D ) A. 当且仅当x=y时，s有最小值B. 当且仅当x=y时，p有最大值s

22

p

4

C. 当且仅当p为定值时，s有最小值 D. 若s为定值，则当且仅当x=y时， p有最大值s2

2

p

解：由均值不等式易得答案为D.

4

2.若x,y∈R+,x+y≤4,则下列不等式中成 立的是( B )A. 1 x y 1 4 D.1 xy 1 ( x y 2 )2

B.

1 x 1 xy

1 y

1

C.1

xy 21 y

1

解： x

2

2

1,

故选B.

3.设a>0,b>0,则下列不等式中不成立 的是( D )A. a b a b2 2

1 ab

2 2

B . ( a b )( 2 ab a b

1 a

1 b

) 4

C.

a b

D.

ab

ab

解法1:由于是选择题，可用特值法， 如取a=4,b=1,代入各选项中的不等式, 易判断2ab a b ab

不成立.

解法2:可逐项使用均值不等式判断A .a b 1 ab 2 ab 1 ab 2 2 ab 1 ab 2 2,

不等式成立; 1 1 B.因为 a b 2 a b 0, 2a b

1 ab

0,

相乘得

( a b )(

1 a

1 b

) 4

成立;

C.因为 a 又由

2

b ( a b ) - 2 ab ( a b ) - 2(2 2 2

a b 2

)

2

(a b) 2

2

,

ab a b2

a b 22

,得

1 ab

2 a b

,

所以

a b 成立;

ab

D.因为a b 2

ab

,所以

1 a b

1 2 ab

,

所以 a b 2

2ab

2ab ab

ab ,

即

2ab a b

a b 不成立,故选D.

题型1 利用均值不等式比较代数式的大小 1. 今有一台坏天平,两臂长不等,其余均精 确.有人说要用它称物体的重量,只需将物体放 在左右托盘各称一次,则两次称量结果的和的 一半就是物体的真实重量,这种说法对吗?并说 明你的理由.解：不对. 设左、右臂长分别是l1,l2,物

体放在左、右 托盘称得重量分别为a,b,真实重量为G.

则由杠杆平衡原理有：l1· 2· G=l b,① l2· 1· G=l a. ①×②得G2=ab,所以 G 由于l1≠l2,故a≠b, 由均值不等式2 a b ab

②ab .

知说法不对,真

实重量是两次称量结果的几何平均值.

点评：本题考查均值不等式,杠杆平衡 原理知识及分析问题、解决问题的能力， 属跨学科(数学、物理)的创新问题.均值不 等式应用的条件是“一正二定三相等”, 即两个数都为正数，两个数的和或积是定 值，有相等的可取值.

a、b、c∈R ,且 a+b+c=1,求证： 1 1 1 a+b+c≥9.

+

1 1 1 证明：a+b+c 1 1 1 =a(a+b+c)+b(a+b+c)+c(a+b+c) b c a c a b =3+a+a+b+b+c+c b a c a c b =3+(a+b)+(a+c )+(b+c) ≥3+2+2+2=9. 1 当且仅当 a=b=c=3时取等号.

注意：三个基本不等式等号成立的条件同 时成立，“迭加法”是证不等式的常用方法.

求函数或代数式的最值 x 5 x 2 2. 设x>-1,求函数y 的最值. x 1 解：因为x>-1,所以x+1>0. 设x+1=z>0,则x=z-1. 把x=z-1代入函数式，得 z 4 z 1 z2 5z 4y z 5 4 z

题型2

当且仅当z=2,即x=1时上式取等号. 所以当x=1时，函数y有最小值9,无最大值.

z z 4 4 5 ( z ) 5 2 z 9, z z