第五讲 插值方法

第四讲 插值方法

一、导言和引例

对实验观测数据(xi,yi)，曲线曲线拟合 不保证所得到的函数不一定满足yi f(xi)。插值则要求函数在所有观测点都必须满足 yi f(xi)

引例1

2.3456789 ？

一般，取2.3456789 2.35，查表得 (2.35) 0.99061

但此数介于2.34与2.35之间，可用 (2.35)作为近似值吗？改进

(2.356789) [ (2.34) (2.35)]/2 精度如何？若要更精确的结果，并且能利用的信息只有标准正态分布函数值表！问题变为：利用一个表格给出的函数值，计算表格中未给出的函数值。

引例2

绘制地图（略）

二、插值方法

1、分段多项式插值

（1） 分段线性插值

设函数f(x)在n 1个节点x0,x1, ,xn处的函数值为y0,y1, ,yn ，求一个分段线性函数q(x)，使其满足q(xi) yi,i 0,1, ,n

由点斜式方程变形得q(x)在第i段[xi 1,xi]上的表达式 x xix xi 1 q(x) yi 1 yi,xi 1 x xi xi 1 xixi xi 1

且有limq(x) f(x) n

上例中 (2.35) 0.99061， (2.34) 0.99036 利用分段线性插值求 2.3456789 ？

取[xi 1,xi] [2.34,2.35]，被插值函数 f(x) (x)。则

yi 1 (xi 1) (2.34) 0.99036

yi (xi) (2.35) 0.99061

由上述表达式计算得

2.3456789 0.9905

（2）分段三次埃尔米特插值

在插值问题中，若在节点x0,x1, ,xn处的函数值为y0,y1, ,yn已给定，还要求给定导数值

y0 ,y1 , ,yn 。求一个分段（共n段）多项式函数，使其满足

q(xi) yi,q (xi) yi ,i 1,2, ,n.

2、三次样条插值

上面介绍分段线性插值，总体光滑程度不够。数学上光滑程度的描述为：函数（曲线） 的k阶导数存在且连续，则称该曲线具有k阶光滑性。提高分段函数如多项式的次数，可望提高整体曲线的光滑程度。但，是否存在较低次多项式达到较高阶光滑性的方法？三次样条插值就是一个好的例子。 三次样条函数 记为S(x)，x [a,b]，满足

S(x)在每个小区间[xi 1,xi]上是一个三次 1）

多项式函数；

2）在整个区间[a,b]上，其二阶导数存在且连续。

如何确定三次样条函数在每个小区间上的三次多项式函数的系数。请参考数值计算。

三、 插值的MATLAB实现

命令: interp1、intep2、interp3,

interpN

四、看例子。

五、范例：估计水塔的水流量

六、实验：选一