2013高考导航 数学 第三章第2课时

第三章

三角函数、解三角形

第2课时

同角三角函数的基本

关系与诱导公式

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教材回扣夯实双基基础梳理1.同角三角函数基本关系式 (1)平方关系：sin2α+cos2α=1,其等价形式 为：sin2α=1-cos2α,cos2α=__________. 1-sin2α sinα =tanα (2)商数关系： cosα ____________, 其等价形式为： sinα cosαtanα sinα=_____________,cosα= . tanα栏目 导引

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2.角的对称 相关角的终边 α与π+α α与π-α α与-α(或2π-α)π α与 2 -α

对称性

原点 关于_______对称y轴 关于______对称 关于x轴对称 y=x 关于直线________对称

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3.六组诱导公式组数角 正弦 余弦

一2kπ+ α(k∈Z) sinα cosα

二π+α -sinα _______ -cosα

三-α -sinα cosα _____

四π-α sinα -cosα -tanα ______

五

六

π -α 2cosα _____ sinα

π +α 2cosα

-sinα _______

正切口诀

tanα

tanα

-tanα

函数名不变符号看象限

函数名改变 符号看象限

简记口诀：奇变偶不变，符号看象限.栏目 导引

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课前热身1.sin(-300° )等于( 1 A.- 2 3 C.- 2答案：D

) 1 B. 2 3 D. 2

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1 2.若 sin(π+α)=- ,则 cosα 等于( 2 1 A.2 2 3 C.± 2 1 B. 2 3 D. 2

)

1 1 解析：选 C.由 sin(π+α)=- 得-sinα=- , 2 2 1 3 2 即 sinα= ,∴cosα=± 1-sin α=± . 2 2

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3 3.(2011· 高考重庆卷)若 cosα=- ,且 α∈ 5

π,3π ,则 tanα=__________. 2 3 π,3π , 解析：∵cosα=- 且 α∈ 2 5 4 4 ∴sinα=- ,∴tanα= . 5 34 答案： 3

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sin 2π-α cos π-α 4. =________. 5π 5π cos 2 +α sin 2 -α sin -α -cosα 解析：原式= π+α sin π-α cos 2 2 sinαcosα = =-1. -sinαcosα答案：-1

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考点探究讲练互动考点突破 考点1 利用诱导公式化简与求值

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例1 (1)化简：

3π tan π-α cos 2π-α sin -α+ 2 ; cos -α-π sin -π-α (2)求值：sin690°sin150° · +cos930°cos(- · 870° )+tan120°tan1050° · .

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【解】

(1)法一：原式=

π -tanα ·cos[π+ π-α ]· sin π+ -α 2 cos π+α · [-sin π+α ] π -tanα · [-cos π-α ]· [-sin -α ] 2 = -cosα · sinα -tanα· cosα· -cos

α -tanα· cosα = = sinα -cosα· sinα sinα cosα =- · =-1. cosα sinα

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π -tanα· cos -α · sin -α- 2 法二：原式= cos π-α · sin π-α π sinα · cosα tanα· cosα· sin α+ 2 cosα = = =-1. -cosα· sinα -sinα

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(2) 原 式 = sin(720° 30° sin(180° 30° - )· - )+ cos(1080° - 150° cos(720° + 150° + )· ) tan(180° -60° tan(1080° )· -30° ) = - sin30° sin30° + cos150° cos150° + tan60° tan30° 1 3 =- + +1 4 4 3 = . 2栏目 导引

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【题后感悟】

(1)化简是一种不指定答案的

恒等变形，其结果要求项数尽可能少，次数

尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值. (2)诱导公式的应用原则：负化正、大化小， 化到锐角为止.

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备选例题(教师用书独具)例

设 f(α)=

2sin π+α cos π-α -cos π+α (1+ 3π π 1+sin2α+cos 2 +α -sin2 2+α

-23π =________. 2sinα≠0),则 f 6

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-2sinα -cosα +cosα 【解析】 ∵f(α)= 1+sin2α+sinα-cos2α 2sinαcosα+cosα cosα 1+2sinα 1 = = = , 2 2sin α+sinα sinα 1+2sinα tanα 1 1 -23π = ∴f = 6 23π - -4π+π tan 6 6 tan = 1 π tan 6 = 3.

【答案】

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