(新课程)高中数学《1.5函数的图像》课件 新人教A版必修4

1.5

函数y=Asin(ωx+φ)的图象

【课标要求】 1.掌握参数 A,ω,φ 对函数 y=Asin(ωx+φ)图象的影响. 2.能熟练运用“五点法”作函数 y=Asin(ωx+φ)的图象. 3.掌握函数 y=Asin(ωx+φ)的振幅、周期、频率、相位、初相. 【核心扫描】 1.求函数图象对应的函数解析式.(重点) 2.运用 y=Asin(ωx+φ)的性质解决有关综合问题.(难点) 3.求函数解析式时 φ 值的确定.(易错点)

自学导引 1.用“图象变换法”作 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象 (1)φ 对 y=sin(x+φ),x∈R 的图象的影响

向左 (当 y=sin(x+φ)(φ≠0)的图象可以看作是把正弦曲线上所有的点φ>0 时)或 向右 (当 φ<0 时),平行移动 |φ| 个单位长度而得到.

(2)ω(ω>0)对 y=sin(ωx+φ)的图象的影响 函数 y=sin(ωx+φ)的图象， 可以看作是把 y=sin(x+φ)的图象上所有 点的横坐标 缩短 (当 ω>1 时)或 伸长 (当 0<ω<1 时)到原来的 1 ω

倍(纵坐标不变)而得到.

(3)A(A>0)对 y=Asin(ωx+φ)的图象的影响 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象，可以看作是把 y=sin(ωx+φ) 上所有 点的纵坐标 伸长 的 (当 A>1 时)或

缩短

(当 0<A<1 时)到原来

A倍 (横坐标不变)而得到.

(4)正弦曲线到函数 y=Asin (ωx+φ)的图象的变换过程： 向左 φ>0 或向右 φ<0 y=sin x 的图象 ― ― ― ― ― ― ― ――――――→ 平移|φ|个单位

y=sin(x+φ) y=sin(ωx+φ) y=Asin(ωx+φ)

的图象 纵坐标变为原来的A倍 的图象 ― ― ― ― ― ― ― ――――――→ 横坐标不变 的图象.

2.函数 y=Asin(ωx+φ),A>0,ω>0 中各参数的物理意义

3.函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的有关性质 (1)定义域：R (2)值域：

[-A,A]

2π (3)最小正周期：T= ω kπ-φ (4)对称性：对称中心 ,0 ,对称轴是 ω

kπ π-2φ x= + (k∈ ω 2ω

Z).

名师点睛 1.对函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象的变换的理解 (1)A、ω、φ 的作用：在函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)中，A, ω 决定“形变”,即 A 影响函数 y=Asin(ωx+φ)的值域，ω 影 响函数 y=Asin(ωx+φ)的周期，φ 决定“位变”,即 φ 影响函 数 y=Asin(ωx+φ)的起始位置.其中 A,ω,φ 同时影响函数 y =Asin(ωx+φ)的单调性.

(2)由 y=sin x 图象得到 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象，还 可以采取如下变换：先伸缩再平移： 图象上的点向左或向右 横坐标伸长或缩短 y=sin x― ― ― ― ― ― y=sin ωx ―――――→ |φ| 1 平移 个单位长度 到原来的ω倍 ω y=sin φ 纵坐标伸长或缩短 ω x+ω =sin(ωx+φ)― ― ― ― ― ― ―――――→ 到原来的A倍

y=Asin(ωx+φ).

|φ| 在以上变换中，图象上各点平移了

个单位长度，而在先平移 ω 后伸缩变换过程中，图象上各点平移了|φ|个单位长度，原因在 于伸缩变换和平移变换都是针对 x 而言，即 x 本身加减多少， 而不是依赖于 ωx 加减多少.因此，用图象变换作图时，一定 要注意平移的先后顺序，提倡先平移后伸缩.

2.由 y=Asin(ωx+φ)的性质或部分图象确定解析式 解决此类问题的关键在于确定参数 A,ω,φ,其基本方法是在 观察图象的基础上，利用待定系数法求解.若设所求解析式为 y=Asin(ωx+φ),则在观察图象的基础上，可按以下规律来确 定 A,ω,φ. (1)一般可由图象上的最大值、最小值来确定|A|. 2π (2)因为 T= ,所以往往通过求周期 T 来确定 ω,可通过已知 ω 曲线与 x 轴的交点确定 T;相邻的最高点与最低点之间的距离 T 为 ；相邻的两个最高点(或最低点)之间的距离为 T. 2

φ (3)从寻找“五点法”中的第一零点 -ω,0 (也叫初始点)作为

突破口，要从图象的升降情况找准第一零点的位置，从而确定 φ. 依据五点列表法原理，点的序号与式子关系如下： “第一点”(即图象上升时与 x 轴的交点)为 ωx+φ=0; π “第二点”(即图象曲线的“峰点”)为 ωx+φ=2; “第三点”(即图象下降时与 x 轴的交点)为 ωx+φ=π; 3π “第四点”(即图象曲线的“谷点”)为 ωx+φ= 2 ;

“第五点”(即图象第二次上升时与 x 轴的交点)为 ωx+φ=2π. 在用以上方法确定 φ 的取值时，还要注意题目中给出的 φ 的范 围，不在要求范围内的要通过周期性转化到要求范围内.

题型一

利用“五点法”作 y=Asin(ωx+φ)的简图

3 1 π 【例 1】 作出函数 y= sin 3x-3 在长度为一个周期的闭区间 2 上的图象. [思路探索] 五点法作图，要抓住关键五点.

解 列表： 1 π X=3x-3 x 0 π 2 π 3π 2 2π

5π 11π π 4π 7π 2 2 3 2 0 3 - 2 0

3 1 π y= sin 3x-3 0 2 描点画图(如图所示):

规律方法 用“五点法”画函数 y=Asin (ωx+φ)(x∈R)的简图， π 先作变量代换，令 X=ωx+φ,再用方程思想由 X 取 0,2,π, 3 π,2π 来确定对应的 x 值，最后根据 x,y 的值描点、连线画 2 出函数的图象.