2017-2018学年数学人教A版选修4-5优化练习：第三讲 三 排序不等式 Word版含解析

[课时作业]

[A组基础巩固]

1．若A＝x21＋x22＋…＋x2n，B＝x1x2＋x2x3＋…＋x n－1x n＋x n x1其中x1x2，…，x n都是正数，则A与B的大小关系为()

A．A>B B．A<B

C．A≥B D．A≤B

解析：依序列{x n}的各项都是正数，不妨设0<x1≤x2≤…≤x n则x2，x3，…，x n，x1为序列{x n}的一个排列．依排序原理，得x1x1＋x2x2＋…＋x n x n≥x1x2＋x2x3＋…＋x n x1，即x21＋x22＋…＋x2n≥x1x2＋x2x3＋…＋x n x1.

答案：C

2．某班学生要开联欢会，需要买价格不同的礼品4件、5件和2件，现在选择商店中单价为3元、2元和1元的礼品，则花钱最少和最多的值分别为() A．20,23 B．19,25

C．21,23 D．19,24

解析：最多为5×3＋4×2＋2×1＝25，

最少为5×1＋4×2＋2×3＝19，应选B.

答案：B

3．锐角三角形中，设P＝a＋b＋c

2，Q＝a cos C＋b cos B＋c cos A，则P、Q的关

系为()

A．P≥Q B．P＝Q C．P≤Q D．不能确定解析：不妨设a≥b≥c，则A≥B≥C，

∴cos C≥cos B≥cos A，

a cos C＋

b cos B＋

c cos A为顺序和，

由排序不等式定理，它不小于一切乱序和，

所以一定不小于P，

∴Q≥P.

答案：C

4．(1＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋14…⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13n －2…⎝

⎛⎭⎪⎫1＋161的取值范围是( ) A ．(21，＋∞)

B ．(61，＋∞)

C ．(4，＋∞)

D ．(3n －2，＋∞)

解析：令A ＝(1＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋14…⎝ ⎛⎭

⎪⎫1＋13n －2 ＝21×54×87×…×3n －13n －2

， B ＝32×65×98×…×3n 3n －1

， C ＝43×76×109×…×3n ＋13n .

由于21>32>43，54>65>76，87>98>109，…，3n －13n －2>3n 3n －1>3n ＋13n

>0， 所以A >B >C >0.所以A 3>A ·B ·C .

由题意知3n －2＝61，所以n ＝21.

又因为A ·B ·C ＝3n ＋1＝64.所以A >4.

答案：C

5．已知a 1＝2，a 2＝7，a 3＝8，a 4＝9，a 5＝12，b 1＝3，b 2＝4，b 3＝6，b 4＝10，b 5＝11，将b i (i ＝1,2,3,4,5)重新排列记为c 1，c 2，c 3，c 4，c 5，则a 1c 1＋a 2c 2＋…＋a 5c 5的最大值是( )

A ．324

B ．314

C ．304

D ．212

解析：两组数据的顺序和为a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a 5b 5＝2×3＋7×4＋8×6＋9×10＋12×11＝304.

而a 1c 1＋a 2c 2＋…＋a 5c 5为这两组数的乱序和，

∴由排序不等式可知，a 1c 1＋a 2c 2＋…＋a 5c 5≤304，

当且仅当c i ＝b i (i ＝1,2,3,4,5)时，a 1c 1＋a 2c 2＋…＋a 5c 5有最大值，最大值为304. 答案：C

6．已知两组数1,2,3和4,5,6，若c 1，c 2，c 3是4,5,6的一个排列，则c 1＋2c 2＋3c 3的最大值是________，最小值是________．

解析：由反序和≤乱序和≤顺序和知，顺序和最大，反序和最小，故最大值为

32，最小值为28.

答案：32 28

7．儿子过生日要老爸买价格不同的礼品1件、2件及3件，现在选择商店中单价为13元、20元和10元的礼品，至少要花________钱．

解析：设a 1＝1(件)，a 2＝2(件)，a 3＝3(件)，b 1＝10(元)，b 2＝13(元)，b 3＝20(元)，则由排序原理反序和最小知至少要花a 1b 3＋a 2b 2＋a 3b 1＝1×20＋2×13＋3×10＝76(元)．

答案：76元

8．在Rt △ABC 中，∠C 为直角，A ，B 所对的边分别为a ，b ，

则aA ＋bB 与π4(a ＋b )的大小关系为________．

解析：不妨设a ≥b >0，

则A ≥B >0，由排序不等式

⎭

⎬⎫aA ＋bB ≥aB ＋bA aA ＋bB ＝aA ＋bB ⇒2(aA ＋bB )≥a (A ＋B )＋b (A ＋B )＝π2(a ＋b ) ∴aA ＋bB ≥π4(a ＋b )．

答案：aA ＋bB ≥π4(a ＋b )

9．设a ，b ，c 都是正实数，求证：1a ＋1b ＋1c ≤a 8＋b 8＋c 8a 3b 3c 3.

证明：设a ≥b ≥c >0，

则1c ≥1b ≥1a ，则1b 3c 3≥1c 3a 3≥1a 3b 3.

由不等式的性质，知a 5≥b 5≥c 5.

根据排序不等式，知

a 5

b 3

c 3＋b 5c 3a 3＋c 5a 3b 3≥a 5c 3a 3＋b 5a 3b 3＋c 5b 3c 3＝a 2c 3＋b 2a 3＋c 2

b 3.

又由不等式的性质，知a 2≥b 2≥c 2，1c 3≥1b 3≥1a 3.

由排序不等式，得

a 2c 3＋

b 2a 3＋

c 2b 3≥a 2a 3＋b 2b 3＋c 2c 3＝1a ＋1b ＋1c .

由不等式的传递性，知

1a ＋1b ＋1c ≤a 5b 3c 3＋b 5c 3a 3＋c 5a 3b 3＝a 8＋b 8＋c

8a 3b 3c 3.

∴原不等式成立．

10．设0<a 1≤a 2≤…≤a n,0<b 1≤b 2≤…≤b n ，c 1，c 2，…，c n 为b 1，b 2，…，b n 的一个排列．

求证：11b a ·22b a ·…·n b n a ≥11c a ·22c a ·…·n c n a ≥1n b a ·12n b a ·…·.

证明：∵0<a 1≤a 2≤…≤a n ，∴ln a 1≤ln a 2≤…≤ln a n .

又∵0<b 1≤b 2≤…≤b n ，

故由排序不等式可知b 1ln a 1＋b 2ln a 2＋…＋b n ln a n

≥c 1ln a 1＋c 2ln a 2＋…＋c n ln a n

≥b n ln a 1＋b n －1ln a 2＋…＋b 1ln a n .

[B 组 能力提升]

1．已知a ，b ，c 为正数，P ＝b 2c 2＋c 2a 2＋a 2b 2

a ＋

b ＋c

，Q ＝abc ，则P 、Q 的大小关系是( )

A ．P >Q

B ．P ≥Q

C ．P <Q

D ．P ≤Q 解析：不妨设a ≥b ≥c >0，

则0<1a ≤1b ≤1c ，0<bc ≤ca ≤ab ，

由排序原理：顺序和≥乱序和，得

bc a ＋ca b ＋ab c ≥bc c ＋ca a ＋ab b ，

即b 2c 2＋c 2a 2＋a 2b 2abc

≥a ＋b ＋c ， ∵a ，b ，c 为正数，∴abc >0，a ＋b ＋c >0，