关于陈文灯考研数学微分算子法商式研究liming6908

在考研数学复习时,学习陈文灯的复习指南发现了一个我之前从未遇到的问题,那就是解常系数二阶微分方程,这个我们以前书上讲的是待定系数法,解题速度比较慢.而且计算量大.经过自己的学习写了一些笔记希望可以帮助到在准备考研的人.

特别感谢百度网友星光下的守护者..

在考研数学复习时,学习陈文灯的复习指南发现了一个我之前从未遇到的问题,那就是解常系数二阶微分方程,这个我们以前书上讲的是待定系数法,解题速度比较慢.而且计算量大.我惊奇的发现微分算子法解题速度快了许多。

当然了你必须要记住几个公式.

那么我主要讲一下很多人很迷茫的

1

=Q(D);具体如何根据F(D)计算出Q(D)..这个计算只是用在复习指南微分

FD算子法的第四个部分.就是当f(x)=a0x+a1x右边部分是m次多项式的情况下.会用到

OK..下面看个例题:

例1y′′ 4′+4y=1+x+ +x23e2x.

解:特征方程为λ 4λ+4=0 (λ 2)=0 λ=2(二重根),

2

2

mm 1

+ +am 1x+am;就是说当微分方程

1

=Q(D);FD()

对应的齐次方程通解为y=e非齐次方程特解y=

*

2x

(C1+C2x),

1

e2x(1+x+ +x23)2

D 4D+4

1

=e2x=e2x

2x

(D+2)

2

4(D+2)+4

(1+x+ +x)

23

1

1+x+ +x23)2(D

x2x3x25

=e ++ + ,

24i25 1i22i3

x2x3x25

故原方程通解为y=e(C1+C2x)+e ++ + .

1i22i324i25

2x

2x

PS:上面这个例题是来自陈文灯的指南上面的,只是那个e

2x

出现得太给力了,一个

D→D+k就把分母消成D2正好积分两次了.所以没有出现

例2y′′′ 2y′′ 3y′=x2+2x 1

解.特征方程为λ3 2λ2 3λ=0 λλ2 2λ 3=0

1

=Q(D);的转换形式.

FD()

λ1=0,λ2= 1,λ3=3,

在考研数学复习时,学习陈文灯的复习指南发现了一个我之前从未遇到的问题,那就是解常系数二阶微分方程,这个我们以前书上讲的是待定系数法,解题速度比较慢.而且计算量大.经过自己的学习写了一些笔记希望可以帮助到在准备考研的人.

对应齐次方程通解为y(x)=C1+C2e非齐次方程通解为

x

+C3e3x

y*(x)=

12

x+2x 1)(32

D 2D 3D112=x+2x 1)(2

DD 2D 3=

1 1272 2

+D D (x+2x 1)

D 3927

7 2 12= +D D (x+2x 1)27 3D9

11720= x3 x2+x ,

992727

PS:注意上面这里红色部分是关键一步了....就是如何将

172 12

= +D D 2

D 2D 3 3927

这里我们首先讲一个最笨的方法..

(1)设特解y*(x)=Ax3+Bx2+Cx+D;(PS:因为最高的阶数为3阶.)

那么

x3 1232

y(x)=2+x x =Ax+Bx+Cx+D;

D 2D 3 3

*

x3

那么 +x2 x =(Ax3+Bx2+Cx+D)(D2 2D 3);

3

对右边部分进行处理:

(Ax(Ax(Ax

整理之后就是:

3

3

+Bx2+Cx+D)D2=6Ax+2B;

+Bx2+Cx+D)( 2D)= 6Ax2 4Bx 2C;+Bx2+Cx+D)( 3)= 3Ax3 3Bx2 3Cx 3D;

3

3

x3

3Ax (6A+3B)x+(6A 4B 3C)x+2B 3D 2C=+x2 x;

3

2

比较两边的同类项的系数则:

在考研数学复习时,学习陈文灯的复习指南发现了一个我之前从未遇到的问题,那就是解常系数二阶微分方程,这个我们以前书上讲的是待定系数法,解题速度比较慢.而且计算量大.经过自己的学习写了一些笔记希望可以帮助到在准备考研的人.

1

3A= 3 6A+3B= 1

6A 4B 3C= 1 2B 3D 2C=0

1

A= 9

B= 1 9

C=7 27 20 D=

27

所以特解为y= OK我们下面上

*

1312720

x x+x ,992727

正式的计算方法..就是书中说到的大除法.

我们要解决的就是:

172 12

= +D D 2

D 2D 3 3927

那么我们按下面的除法做就可以了...

127

+D

D2 3927

2 D+D3324223 D D+D7223D D99

7214374D+D D

在考研数学复习时,学习陈文灯的复习指南发现了一个我之前从未遇到的问题,那就是解常系数二阶微分方程,这个我们以前书上讲的是待定系数法,解题速度比较慢.而且计算量大.经过自己的学习写了一些笔记希望可以帮助到在准备考研的人.

呵呵！其实就是围绕着常数变换而已.

这下面是我手算的,大伙有兴趣可以看一看，我写到了D位了.写在草稿纸上,用相机拍

的。

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