第二章 第十四节 定积分与微积分基本定理

高考成功方案 2013

第 二 章 函 数、 导 数 及 其 应 用

高考成功方案第一步 第十 四节

定 积分 与微 积分 基本 定理

高考成功方案第二步

高考成功方案第三步

高考成功方案第四步

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考纲点击 1.了解定积分的实际背景，基本思想、概念.

2.了解微积分基本定理的含义.

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x2 1.设f(x)= x 2 1 A.∫-1x2dx

x≥0 则∫1 1f(x)dx的值是 - x<0 B.∫1 12xdx -

(

)

0 C.∫-1x2dx+∫12xdx 0

D.∫0 12xdx+∫1x2dx - 0

解析：由定积分的性质，可知∫1 1f(x)dx=∫0 12xdx - - +∫1x2dx. 0

答案：D

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41 2.∫2 dx

x

等于 B.2ln 2 D.ln 2

(

)

A.2ln 2 C.-ln 241 解析：∫2 dx=ln 4

x

x 2 =ln 4-ln 2=ln 2.

答案： D

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3.一质点运动时速度和时间的关系为V(t)=t2-t+2,质 点作直线运动，则此物体在时间1·内的位移为( 17 A. 6 13 C. 6 14 B. 3 11 D. 6 )

1 1 17 2 ∫1(t2-t+2)dt=( t3- t2+2t) 2 = . 解析：s= 1 3 2 6

答案：A

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1 4.已知函数 f(x)=3x2+2x+1,若∫-1f(x)dx=2f(a)

成立，则 a=________.解析：∫1 1f(x)dx=∫1 1(3x2+2x+1)dx - - =(x3+x2 +x) -1 =4=2f(a). 1 ∴3a +2a+1=2,解得a=3或-1.2 1

1 答案：3或-1

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1 5.曲线y=x与直线y=x,x=2及x轴所围成图形面积为_____. x2 1 2 1 21 解析：S=∫0xdx+∫1xdx= 2 0 +ln x 1

1 =2+ln 2. 1 答案：2+ln 2

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1.定积分

(1)定积分的相关概念在 区 f(x)dx 间[a,b]叫做积分区间， 分变量， f(x)dx中， a,b 分别叫做积分下限与积分上限，

f(x)叫做被积函数，

x叫做积

叫做被积式.

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(2)定积分的几何意义 ①当函数f(x)在区间[a,b]上恒为正时，定积分∫bf(x)dx的 a 几何意义是由直线x=a,x=b(a≠b),y=0和曲线y=f(x) 所围成的曲边梯形的面积(左图中阴影部分).

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b ②一般情况下，定积分 ∫ a f(x)dx的几何意义是介于x

轴、曲线f(x)以及直线x=a、x=b之间的曲边梯形面 积的代数和(如图中阴影所示),其中在x轴上方的面积 等于该区间上的积分值，在x轴下方的面积等于该区 间上积分值的相反数.

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(3)定积分的基本性质 ①∫bkf(x)dx= a

k∫bf(x)dx . a

b ∫b ②∫b[f1(x)± 2(x)]dx=∫a f1(x)dx± a f2(x)dx . f a

∫b ∫c ∫bf(x)dx= a f(x)dx+ a f(x)dx . ③ a

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2.微积分基本定理 如果f(x)是区间[a,b]上的连续函数，并且F′(x)=f(x),b 那么 ∫ a f(x)dx= F(b)-F(a) ,这个结论叫做微积分基本定

理，又叫做牛顿—莱布尼兹公式.b b 为了方便，常把F(b)-F(a)记成 F(x)|a,即∫af(x)dx=

F(x)|b =F(b)-F(a). a

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