2.11函数的性质奇偶性

高考数学第一轮复习课件(函数与导数)

2.11函数的奇偶性 函数的奇偶性

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1.函数的奇偶性 . 奇偶性 定义 如果对于函数f(x)的定义域内任 偶函数 意一个x,都有 f(-x)=f(x) , 关于 y轴 对称 = 图象特点

那么函数f(x)是偶函数 如果对于函数f(x)的定义域内任 奇函数 意一个x,都有 f(-x)=- f(x), 关于原点 对称 =

那么函数f(x)是奇函数

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1.定义:(1)定义域关于原点对称 .定义 定义域关于原点对称 (2)偶：f(-x)=f(x) 偶 = 2.分类：①奇函数 .分类： ③非奇非偶函数 举例？ 举例？ 3.性质:(1)奇：关于原点对称 偶：关于 轴对称 .性质 关于y轴对称 奇 (2)奇±奇=奇 奇 奇 奇×奇=偶 偶 偶±偶=偶 偶 偶×偶=偶 偶 奇×偶=奇 奇 = 奇：f(-x)=- f(x) ②偶函数 ④即奇又偶函数

(3)若奇函数 若奇函数f(x)当x=0时有意义，则f(0)=0 时有意义， 若奇函数 当 时有意义 4.判断：①定义法 .判断： ②图象法 ③性质法

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【典型例题】 典型例题】 例1.判断下列函数的奇偶性： .判断下列函数的奇偶性：

1 x (1) f ( x) = lg 1+ x(3) f ( x ) = lg (1 x 2 ) x 2 2

(2) f ( x ) = ln x + x + 12

(

)

(4) f ( x ) = ( x 1)2

1+ x 1 x

1 1 (5) f ( x) = x( x + ) 2 1 2

1 (6) f ( x ) = lg x + lg 2 x

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(7) f ( x) =

{

x2 + x , ( x≥0) x2 + x ,

( x<0)

(8) f ( x) =| x + 1| | x 1|(9) 已知

f ( x) = ax + bx + cx + d,当a,b,c,d3 2

满足什么条件时为偶函数？奇函数？ 满足什么条件时为偶函数？奇函数？ 小结： 是奇函数， 小结：若f(x)是奇函数，则偶次方的系数为 是奇函数 则偶次方的系数为0 是偶函数， 若f(x)是偶函数，则奇次方的系数为 是偶函数 则奇次方的系数为0

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是任意一个函数且定义域关于原点对称， 【例2】设f(x)是任意一个函数且定义域关于原点对称， 】 是任意一个函数且定义域关于原点对称 判断下列函数的奇偶性. 判断下列函数的奇偶性

f ( x) + f ( x) ① F ( x) = 2x

f ( x) f ( x) ② G ( x) = 2

【练习】把函数 f ( x) = 2 表示成一个奇函数与一 练习】 个偶函数之和. 个偶函数之和

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已知f(x)是R上的奇函数且当 ∈(0,+∞)时 上的奇函数且当x∈ 例3.已知 已知 是 上的奇函数且当 时 求当x∈ 的解析式. 求当 时 的解析式 f ( x ) = x (1 + 3 x ) ,求当 ∈(-∞,0)时f(x)的解析式

【练习】设函数f(x+1)是偶函数 且当 是偶函数,且当 练习】设函数 是偶函数 且当x<1时f(x)=x2+1, 时 求当x>1时f(x)的解析式 时 的解析式. 求当 的解析式

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【例4】函数f(x)的定义域为D={x|x≠0},且满足对 于任意x1,x2∈D,有f(x1·x2)=f(x1)+f(x2). (1)求f(1)的值； (2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论； (3)如果f(4)=1,f(3x+1)+f(2x-6)≤3, 且f(x)在(0,+∞)上是增函数，求x的取值范围.点拨 (1)依题设可令x1

=x2=1,则可求f(1)的值； (2)令x1=-1,x2=x,即可找到f(-x)与f(x)间的关系， 但需求f(-1)的值； (3)充分利用奇、偶函数在其对称区间上的单调性求解.

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【规范解答 规范解答】 (1)∵对于任意x1,x2∈D, 规范解答 有f(x1·x2)=f(x1)+f(x2), ∴令x1=x2=1,得f(1)=2f(1), ∴f(1)=0. ………………………………………………2分 (2)令x1=x2=-1,有f(1)=f(-1)+f(-1), ∴f(-1)=f(1)=0.……………………………………4分 令x1=-1,x2=x有f(-x)=f(-1)+f(x), ∴f(-x)=f(x),∴f(x)为偶函数.……………………6分 (3)依题设有f(4×4)=f(4)+f(4)=2, f(16×4)=f(16)+f(4)=3, ∵f(3x+1)+f(2x-6)≤3, 即f[(3x+1)(2x-6)]≤f(64). (*)………………8分

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∵f(x)为偶函数， ∴f(|(3x+1)(2x-6)|)≤f(64). 又∵f(x)在(0,+∞)上是增函数， ∴0<|(3x+1)(2x-6)|≤64. 解之得：3<x≤5或-≤x<-或-<x<3.…………11分 ∴x的取值范围为 {x|-≤x<-或-<x<3或3<x≤5}.………………12分

思维启迪 (1)本题易出现不知如何脱掉“f”,原因是不理解“f”为 对应法则或没注意到函数单调性。 (2)本题利用偶函数性质f(|x|)=f(x),避免了不必要的 讨论。

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【变式】将本例中的条件f(x1·x2)=f(x1)+f(x2)改为 f(x1+x2)=f(x1)+f(x2),定义域D={x|x≠0}改为D=R, 求解第(2),(3)问. 【解】 (2)令x1=x2=0,得f(0)=0; 解 令x1=x,x2=-x,得f(0)=f(x)+f(-x), 即f(-x)=-f(x), ∴f(x)为奇函数.

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(3)∵f(4)=1,∴f(8)=f(4)+f(4)=2, f(12)=f(4+8)=f(4)+f(8)=3. 又∵f(3x+1)+f(2x-6)≤3, ∴f(3x+1+2x-6)≤f(12), 即f(5x-5)≤f(12). 又∵f(x)在(0,+∞)上为增函数，f(0)=0, 且f(x)为奇函数， ∴f(x)在R上是增函数， R ∴5x-5≤12,∴x≤ .

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课堂反思 1.要正确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两个问 题： (1)定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶 函数的必要不充分条件； (2)f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是定义域上恒等式. 2.奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据.为了便 于判断函数的奇偶性，有 …… 此处隐藏：1136字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……