电力系统分析II 华科电气

CH18 电力系统静态稳定性 运动稳定性的基本概念和小扰动法原理 Lyapunov运动稳定性的定义 非线性系统的线性近似稳定判断法

简单电力系统的静态稳定性 自动励磁调节器对静态稳定的影响 考虑自动励磁调节器的系统线性化状态方程

自动励磁调节器对静态稳定性的影响 电力系统静态稳定性与简化计算中的发电机模型处理

电力系统静态稳定实际分析计算的概念

电力系统分析II 华科电气

电力系统静态稳定性—运动稳定性的基本概念和小扰动法原理 未受扰运动与受扰运动 动力学系统常用一组微分方程表示平衡点1 平衡点2

dxi (t ) dX(t) = F t, X(t) fi (t , x1 , x2 ,..., xn ) dt dt 给定不同初值，求解微分方程，可得到不同的运动形式

X(t 0 ) = X0 X(t) 未受扰运动

a a

X(t 0 ) = X0 X(t) 受扰运动

平衡点稳定性问题 X(t 0 ) = X0 X(t) = X0 = Xe , t t 0

dX = 0 F(t, Xe ) = 0 dt X=Xe

未受扰 运动的 稳定性 ，必须 通过受 扰运动 的性质 来判断

受扰运动 a a a

未受扰运动

电力系统分析II 华科电气

电力系统静态稳定性—运动稳定性的基本概念和小扰动法原理 Lyapunov运动稳定性定义 设有动力学系统及其平衡点

定义以平衡点为圆心的球域

dX(t) = F t, X(t) F t, Xe 0 dtX(t 0 ) = X0 X(t),t t 0

X Xe

( xi xei ) 2 c 欧氏范数 i 1

n

S ( ) : X Xe

S ( ) : X0 Xe ( , t0 )

Lyapunov平衡点稳定性：任意给定球域S(ε),一定存在域S[η(ε,t0)],从S(η)域中任一点 X0出发，X(t)不会超出S(ε),平衡点稳定；否则，平衡点不稳定； 如果平衡点稳定，且η(ε,t0)与初始时刻t0无关，称平衡点具有一致稳定性； Lyapunov渐近稳定性： 平衡点具有Lyapunov 稳定性，且X(t)最终收S ( ) S ( ) S ( )

X (t )

X (t )

X (t )

敛于平衡点；

S ( )

Xe

S ( )

Xe

S ( )

Xe

电力系统分析II 华科电气

电力系统静态稳定性—运动稳定性的基本概念和小扰动法原理 非线性系统的线性近似稳定性判断法 Lyapunov稳定性判断原则 若线性化方程A矩阵的所有特征 值的实部均为负值，线性化方 程的解是稳定的，非线性系统 也是稳定的； 若线性化方程A矩阵至少有一个

dX = F ( X) dt

d(Xe + ΔX) = F(Xe + ΔX) dt

d(Xe + ΔX) dF(X) = F(Xe ) + ΔX + R(ΔX) dt dt X=Xe dΔX dF(X) = ΔX R(ΔX) AΔX R(ΔX) dt dt X=Xe

实部为正的特征值，线性化方程的解是不稳定的，非线性系 统也是不稳定的； 若线性化方程A矩阵有实部为零 的特征根，则非线性系统的稳 定性要计及非线性部分R(ΔX)

dΔX = AΔX A aij n n dt

X 0

lim

R(ΔX) X

0

非线性系统的稳

定性，扰动很小时，可转 化为线性系统来研究；称小扰动法或小干 扰法

电力系统分析II 华科电气

电力系统静态稳定性—运动稳定性的基本概念和小扰动法原理 小扰动法分析电力系统静态稳定的步骤 列写电力系统各元件的微分方 程以及联系各元件间关系的代 数方程(网络方程);

dX = F ( X) dt

d(Xe + ΔX) = F(Xe + ΔX) dt

d(Xe + ΔX) dF(X) = F(Xe ) + ΔX + R(ΔX) dt dt X=Xe dΔX dF(X) = ΔX R(ΔX) AΔX R(ΔX) dt dt X=Xe

分别对微分方程和代数方程线性化； 消去方程中的非状态变量，求

出线性化小扰动状态方程及矩阵A; 计算给定运行状态的初始值， 确定A矩阵各元素的值； 确定A矩阵的特征值实部符号， 计算特征值，或者采用间接判 别法如劳斯法、胡尔维茨法

dΔX = AΔX A aij n n dt

X 0

lim

R(ΔX) X

0

小扰动法，不需求解扰动方程，因此静态 稳定分析不需注意随机扰动的形式和初值； 性质上区别于暂态稳定。

电力系统分析II 华科电气

电力系统静态稳定性—简单电力系统的静态稳定性 不计发电机阻尼的情况 d ( 0 ) N dt d ( ) N N PT PEq ( 0 ) dt TJ

T-1 GdPEq d EqV X d 0

L Eq

T-2 V V

jX d

S Eq

PEqcos 0PPEq ( )

PEq ( 0 ) PEq ( 0 )

dPEq d 0

R( )

d dt N d N PT PEq ( 0 ) S Eq dt TJ

d 0 dt N d T S Eq dt J

1 0

P 0

a

SEq

b

p det( A pI) det N S Eq TJ

1 d X A X 0 p1,2 N TJ S E dt p T X k 1e p t k 2 e p t 1 2

0

90

180

q

电力系统分析II 华科电气

电力系统静态稳定性—简单电力系统的静态稳定性 不计发电机阻尼的情况 d 0 dt N d T S Eq dt J

T-1 G Eq

L

T-2 V V

EqV 1 S Eq cos 0 0 X d 0 p1,2 j N TJ S Eq j

jX d

PEqPPEq ( )

(t ) k 1e j t k 2 e j t (k 1 k 2 ) cos t j (k 1 k 2 )sin t 2 A cos t 2 B sin t k sin( t )(1)稳定判据：S Eq 0 或 0 90 (2)稳定极限功角： sl 90

S Eq

EqV X d

cos 0 0 TJ S Eq

P 0

a

SEq

b

1 (3)自由振荡频率：f e

2

NTJ

p1,2

N

S Eq

k 1e t k 2 e t

0

90

180

若δ0<90°,SEq>0,具有纯虚数特征根，系统受扰后功角在初始功角附近作等幅振荡； 若δ0>90°,SEq<0,具有正实数特征根，系统受扰后功角单调增加，非周期单调失稳；

电力系统分析II 华科电气

电力系统静态稳定性—简单电力系统的静态稳定性 计及发电机阻尼的情况 d dt N d N PT PEq ( ) D dt TJ

d 0 dt N d T S Eq dt J

N D TJ 1

P

Pe D

P0

det( A pI) p det N S Eq TJ 0 N D p TJ 1

p 2 p N TJ D N TJ SEq 0p1,2 N D N S Eq 2TJ 2TJ TJ

N D

2

a

D>0 Case 1 Case 2

运行点

阻尼大小

特征值 1 , 2

功角变化 非周期单调衰减 周期性振荡衰减t

2 SEq>0 D 4SEq TJ N

SEq>0

D 2 4SEq TJ N

j

(t ) k e t sin( t )

电力系统分析II 华科电气

电力系统静态稳定性—简单电力系统的静态稳定性 计及发电机阻尼的情况 d dt N d N PT PEq ( ) D dt TJ

d 0 dt N d T S Eq dt J

N D TJ 1

P

Pe D

P0

det( A pI) p det N S Eq TJ 0 N D p TJ 1

p 2 p N TJ D N TJ SEq 0p1,2 N D N S Eq 2TJ 2TJ TJ

N D

2

a

D<0 Case 3 Case 4

运行点 SEq>0 SEq>0

阻尼大小D 2 4SEq TJ N D 2 4SEq TJ N

特征值 1 , 2

功角变化 非周期单调发散 周期性振荡发散t

j

(t ) k e t sin( t )

电力系统分析II 华科电气

电力系统静态稳定性—自动励磁调节器对静态稳定的影响 按电压偏差调节的比例式励磁调节器u ff R ff i ff L ff di ff dt u ff R ff i ff L ff di ff R ff dt du f dtu ff i ff if

T-1

=

uf

G- VG + Vref VR1 1 Te p

系统

功率单元 Vref +

u ff K (Vref VG ) u f i ff K A (Vref VG ) u f Te

K

VR 0 u f 0 K A Vref VG 0 u f u f 0 u f K A VG u f Te d u f dt

VG VG 0 VG

×

X ad Rf dX ad i fe X ad i fe Te dt

VG - -

KA

Vf

X ad X ad d X ad K A VG u f Te u f

Rf Rf dt R f

KF p 1 TF p

KV VG Eqe Te

d Eqe dtX ad Rfuf Rf

Te —励磁机时间常数X ad i f X ad X f d X ad f X R f dt f

E

qe 0

Eqe Eq 0 Eq Td 0

d Eq 0 Eq dt

u f Rf if

d f dt

E E T dEq qe q d0 dt

Eqe Eq Td 0

d Eq dt

电力系统分析II 华科电气

电力系统静态稳定性—自动励磁调节器对静态稳定的影响 计及比例式励磁调节器的系统线性化状态方程d N dt d N PT Pe N Pe dt TJ TJ d Eq 1 Eqe Eq dt Td 0 d Eqe dt 1 KV VG Eqe Te

d Eqe 1 dt Te d Eq 1 dt T d d 0 dt 0 d dt 0

KV REq Te RVGq REq Td 0 REq 0

KV SVGq S Eq Td 0 REq S Eq S Eq Td 0 REq 0

N RE TJ

q

PEq

N S E TJ

q

0 Eqe 0 Eq (18 41) 1 0

Pe Pe Pe

PEq PEq P Gq V

PEq Eq PEq Eq

Eq S Eq REq Eq Eq S Eq REq Eq VGq SVGq RVGq VGq VG VGq

EqV X d EqV

V 2 X d X q sin sin 2 2 X d X q

V 2 X d X q PEq sin sin 2 X d 2 X d X q P Gq V VGqV X TL V 2 X TL X q sin sin 2 2 X TL X q

P Gq V VGq

电力系统分析II 华科电气

电力系统静态稳定性—自动励磁调节器对静态稳定的影响 稳定判据及分析 d Eqe 1 dt Te d Eq 1 dt T d d 0 dt 0 d dt 0 KV REq Te RVGq REq Td 0 REq 0 det A pI 0 a0 p 4 a1 p 3 a2 p 2 a3 p a4a0 a1 a2 TJ

KV SVGq S Eq Td 0 REq S Eq S Eq Td 0 REq 0

N RE TJ

q

N S E TJ

q

0 Eqe 0 Eq (18 41) 1 0

NTJ

TeTd

N

Te Td TeTd S Eq

胡尔维茨判别法：系数矩阵A所有特征值实部为负的条件 特征方程式所有系数大于零； 胡尔维茨行列式及其主子式的值均大于零a0 0 a1 0 a2 0 a3 0 a4 0 2 a1 a0 a3 a2 0a1 3 a0 0

a3 a2 a1 0

TJ X TL 1 KV N X d a3 Te S Eq Td S Eq a4 S Eq KV SVGq

X TL X d

a1a4 0 a3

a3 a2 a1 a0

0 a4 a3 a2

0 0 0 a4 0

4

a0 0 0

电力系统分析II 华科电气

电力系统静态稳定性—自动励磁调节器对静态稳定的影响 稳定判据及分析a0 a1 a2 TJ

NTJ

TeTd 0

a3 Te S Eq Td S Eq 0 a4 S Eq KV SVGqa3 0 S Eq

PVGq const Eq const Eq const

N

Te Td 0

X TL 0 X d

TJ X 1 KV TL TeTd S Eq 0 N X d S Eq X d a3 Te S Eq Td S Eq 0 a4 0 KV min SVGq X TL X a4 S Eq KV SVGq TL 0 X d

Te S Eq 0 Td

P0SVGq S Eq S Eq90

采用比例励磁调节器，综合放大系数必须大于某一最小 值，否则系统非周期单调失稳，a4<0,有正实数特征根；较易满足！ 发电机功角可超过90°运行，但是稳定极限功角 sl 略小于 E ;qm

sl E

qm

180 Te S Eq Td

发电机可近似采用 Eq const 模型；

电力系统分析II 华科电气

电力系统静态稳定性—自动励磁调节器对静态稳定的影响 稳定判据及分析a0 a1 TJ

KV max70

NTJ

TeTd 0

a1 4 a0 0 0

a3 a2 a1 a0a3 a2 a1

0 a4 a3 a20

0 0 0 a460

0

Te 1.0s Te 0.5s

Te 5s

N

Te Td 0

50 40 30 20 10 0 60

a1 TJ X TL a2 1 KV TeTd S Eq 0 a N X d 3 0 0 a3 Te S Eq Td S Eq 0a4 S Eq KV SVGq X TL 0 X d

a4 0 a3

Te 0.2s

2

a1 a0

a3 a2

0

70

80

90

100

110

120

采用比例励磁调节器，综合放大系数必须小于 某一最大值，即KV< KVmax ,否则系统周期性 振荡失稳，Δ3<0,有正实部复数特征根； KVmax与是运行参数的复杂函数，与励磁机时 间常数Te和运行功角有关；X d S Eq S Eq KV X TL SVGq S Eq 1 TJ 1

2 N Te Te S E Td S E q

q

Te SVGq S Eq Td

Te Td SVGq S Eq

电力系统分析II 华科电气

电力系统静态稳定性—自动励磁调节器对静态稳定的影响 稳定判据及分析a0 a1 TJ

KV max70

NTJ

TeTd 0

a1 4 a0 0 0

a3 a2 a1 a0a3 a2 a1

0 a4 a3 a20

0 0 0 a460

0

Te 1.0s Te 0.5s

Te 5s

N

Te Td 0

50 40 30 20 10 0 60

a1 TJ X TL a2 1 KV TeTd S Eq 0 a N X d 3 0 0 a3 Te S Eq Td S Eq 0a4 S Eq KV SVGq X TL 0 X d

a4 0 a3

Te 0.2s

2

a1 a0

a3 a2

0

70

80

90

100

110

120

运行功角越大，允许的KVmax越小；换言之，KV越大， 允许运行功角越小； 励磁机时间常数Te越大，允许KVmax越大；通常励磁机 时间常数较小，可采用

反馈补偿，称励磁系统稳定器；

VG - -

Vref +

VRKA

1 1 Te p

Vf

KF p 1 TF p

电力系统分析II 华科电气

电力系统静态稳定性—自动励磁调节器对静态稳定的影响 比例式励磁调节器对静态稳定的影响

改进励磁调节器的几种途径 对励磁系统进行参数补偿+电力系统 稳定器(PSS)VG - Vref + VRKA

提高静态稳定功率极限，扩大了稳定域，提高系统输送能力； 如果能恰当整定KV,使之不发生自发 振荡，则可以用 S Eq 0 来确定稳定极

1 1 Te p

Vf

限，即采用 Eq const 的经典模型的功率极限作为稳定极限。

KF p 1 TF p

KV的整定应兼顾维持电压能力，提高功率极限和扩大稳定运行范围，增大 稳定极限两个方面。

K A VG V f (Te K A K F )

d V f dt

多参数反馈调节——强力式PID励磁 调节器

多参数调节比单参数优越。

k0 k1 p k2 p 2

电力系统分析II 华科电气

电力系统静态稳定性—自动励磁调节器对静态稳定的影响 电力系统静态稳定简要述评类型无励磁 手动调 节励磁 比例式， KV适中 稳定 条件S Eq 0 S Eq 0P

稳定功 发电机 率极限 简化模型PEqmPG V Eqm

失稳形式单调失稳 自发振荡 单调失稳 自发振荡 自发振荡

P Gm V Psl 4 Psl 3 PEqm PEqm P0

VG const Eq const

Eq constVG const Eq const

S Eq 0

PEqm

Eq const

比例式， KV KV max P G V KV较大 强力式励 磁+PSSSVG 0

E Eqm

qm

sl

VG const

sl V

Gq

P Gm V

VG const

自发振荡t

电力系统分析II 华科电气

电力系统静态稳定性—电力系统静态稳定实际分析计算的概念 小干扰法在复杂电力系统中的应用—关于参考轴的选取 d 1 dt 1 N 1 d 1 N PT 1 Pe1 ( ) N P 1 dt TJ 1 TJ 1 d 2 dt 2 N 2 d 2 N PT 2 Pe 2 ( ) N P2 dt TJ 2 TJ 2 2 EG1 E E Pe1 sin 11 G1 G 2 sin( 12 12 ) Z11 Z12 2 EG 2 E E Pe 2 sin 22 G1 G 2 sin( 12 12 ) Z 22 Z12

d 1 0 dt d 1 N S E dt TJ 1 1 d 2 0 dt N S d 2 TJ 2 E2 dt

1 0 0 0

0

NTJ 1

S E1

0

NTJ 2

S E2

0 0 1 1 1 2 2 0

det A pI 2 N S E1 N S E2 p p TJ 1 TJ 2 2

0

Pe1 S E1 12 S E1 1 S E1 2 Pe 2 S E2 12 S E2 1

S E2 2

采用绝对功角和绝对角速度列写状态方程，会 出现零特征值；

电力系统分析II 华科电气

电力系统静态稳定性—电力系统静态稳定实际分析计算的概念 小干扰法在复杂电力系统中的应用—关于参考轴的选取 d 1 dt 1 N 1 d 1 N PT 1 Pe1 ( ) N P 1 dt TJ 1 TJ 1 d 2 dt 2 N 2 d 2 N PT 2 Pe 2 ( ) N P2 dt TJ 2 TJ 2

d 12 dt 12 1 d 12 P P2 N dt TJ 1 TJ 2

Pe1 S E1 12 S E1 1 S E1 2 Pe 2 S E2 12 S E2 1 S E2 2 d 12 0 dt N S E1 N S E2 d 12 TJ 1 TJ 2 dt 1 12 0 12 det A pI p det

N S ETJ 1

1

N S ETJ 2

2

N S E1 N S E2 p2 0 p TJ 1 TJ 2

1

为消去零特征值，复杂电力系统中，应以相对功角和相对角速度为变量；通常选取某一 台发电机的转子作为参考轴；

电力系统分析II 华科电气

电力系统静态稳定性—电力系统静态稳定实际分析计算的概念 静态稳定储备系数的计算 正常运行及正常检修方式：>=(15~20)% 事故后及特殊运行方式：>=10%

多机系统静稳储备系数的计算 多机系统发电机功率特性为多变量 函数，理论上无法求出功率极限； 简化为两机系统，计算功率极限； 角度恒定法：除被研究发电机外， 其他机组功角相同——视为等值发 电机； 中间发电机有功功率恒定法：除被 研究发电机和另一个指定发电机外，

K sm ( p )

Psl PG 0 P P 100% m G 0 100% PG 0 PG 0

静态稳定极限的计算 根据发电机励磁特性，确定发电机计算条件， 即选用何种电势为恒定的模型； 根据给定运行方式，进行潮流计算，求发电 机电势及功率PG0

假定其余发电机输出有功功率恒定； 连续潮流法

计算发电机功率特性和功率极限 用功率极限代替稳定极限计算Ksm(p)

电力系统分析II 华科电气

Huazhong University of Science and Technology

本章小结

理解静态稳定分析与暂态稳定分析在方法上的区别； 小干扰法的基本原理和步骤； 简单电力系统的小扰动方程推导过程，包括考虑自动励磁调节的简单系统 线性化方程； 励磁调节控制特性与发电机电磁功率计算模型的关系；

稳定功率极限与功率极限的概念及其差异； 自动励磁调节器对系统静态稳定性的影响；比例式调节器综合放大系数的 取值及其影响；

静态稳定储

备系数的计算方法