高考数学题型全归纳第五章 平面向量 第1节

考纲解读1.了解向量的实际背景，理解平面向量的概念及两个向量相等的含义及向量的几何表示. 2.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义，掌握向量数乘 的运算及其意义，理解两个向量共线的含义； 3.了解平面向量的基本定理及其意义，掌握平面向量的正交分解及 其坐标表示，会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算，理解 用坐标表示平面向量共线的条件.

知识点精讲一、向量的基本概念 1. 向量定义

既有大小又有方向的量叫向量，一般用a,b,c 来表示，或用有向线段的 B 为终点). 起点与终点的大写字母表示，如 AB(其中 A 为起点，2. 向量的大小(模) 向量的大小，也就是向量的长度，记作a 或 AB .

3. 零向量、单位向量、相等向量、平行(共线)向量

零向量：长度为零的向量，记为 0 ,其方向是任意的.单位向量：模(长度)为1 个单位的向量. 当 a 0 时，显然向量 与向量 a 共线(平行)的单位向量.a 是 a

相等向量：长度相等且方向相同的向量，相等向量经过平移后总可 以重合，记为a b .

平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量. 平行向量也叫共线向量，因为任何平行向量经过平移后，总可以移到一条直线上. 规定 零向量与任何向量 a 平行(共线)即 0 ∥a . 二、向量的线性运算

1. 向量的加法求两个向量和的运算叫做向量的加法. 已知向量a , b ,在平面内任取 一点 A ,作AB a ,BC b ,则向量AC 叫做a 与b 的和(或和向 量),即a b = AB BC AC . 向量加法的几何意义：向量的加法符合三角形法则和平行四边形法则. 如图5-1所示，向量 AC a b .

图 5-1 2. 向量的减法 (1)相反向量

a 的相反向量，记作 a . 与a 长度相等，方向相反的向量，叫做① 规定：零向量的相反向量仍是零向量； ② ( a ) a ; ③ a ( a ) 0 ,即互为相反向量的和是零向量，a b = 0. b a , b 互为相反向量，则a b , ④若 a ,

(2)向量的减法a 与 b 的差，即a b a b . 向量a 与 b 的相反向量之和，叫做向量

向量减法的几何意义：向量的减法符合三角形法则. 如图5-2所示， OA a , OB b ,则向量BA a b .3. 向量的数乘 图 5-2

a ,其长度与方向规定 (1)实数 与向量a 的积是一个向量，记为如下： ① a a ; ②当 0 时， a 与 a 的方向相反； a 与 a 的方向相同；当 0 时，

a 0 . a 0 ;当 a 0 时， 当

0 时，(2)向量数乘运算的运算律.设 , 为实数，则 a a a ; a a ; a b a b.

三、重要定理和性质1.共线向量基本定理

如果 a b R ,则 a ∥b ;反之，如果a∥b b 0 ,则一定存在唯一的实数 ,使 a b .(口诀：数乘即得平行，平行必有数乘). 2.平面向量基本定理 如果e1 和 e2 是同一平面内的两个非零不共线向量，那么对于平面内的

2 ,使得a 1e1 2e2 ,我们 任一向量 a ,都存在唯一的一对实数 1 ,e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为 把不共线向量 e1 , e1 , e2 . 1e1 2e2 叫做向量a 关于基底 e1 , e2 的分解式.3.线段定比分点的向量表达式

如图5-3所示，在 △ABC 中，若点D 是边BC 上的点，且 AB AC BD DC 1 , 则向量 AD . 在向量线性表示(运算) 1

有关的问题中，若能熟练利用此结论，往往能有“化腐朽为神奇”之功效， 应熟练掌握.

4. 三点共线定理

图 5-3

,使 , 平面内三点 A , C 共线的充要条件是：存在实数 B, O 为平面内任一点. OC OA OB ,其中 1 ,此定理在向量问题中经常用到，应熟练掌握.A, B, C 三点共线

存在唯一的实数 ,使得 AC AB ; 存在唯一的实数 ,使得 OC OA AB ; 存在唯一的实数 ,使得 OC 1 OA OB ; 存在 1 ,使得OC OA OB .

5. 中线向量定理 如图5-4所示，在△ABC 中，若点D 是边 BC 的中点， 1 则中线向量AD AB AC . 2

题型归纳及思路提示题型71 共线向量的基本概念

【例5.1】(1)有向线段就是向量，向量就是有向线段； (2)向量AB 与向量CD 共线，则 A, B, C , D 四点共线；b∥c ,那么a∥c . (3)如果a∥b ,

以上命题中正确的个数是( ). A. 1 B. 2 C. 3 D. 0

【分析】 联系向量的基本概念，注意特殊向量零向量，注意考查判断.

【解析】(1)不正确，向量可以用有向线段表示，但向量不一定是有向线段； (2)不正确，共线向量所在的直线可以重合，也可以平行

(3)不正确，当b 0 时，则a 与 c 不一定共线.所以(1)(2)(3)均不正确. 故选D. 【评注】 本题易忽视零向量这

一特殊向量，认为(3)是正确的.

题型72 共线向量基本定理及应用b 共线的充要条件是( 【例5.2】 平面向量 a ,

).

A.a , b 方向相同C. R , b a

b 两向量中至少有一个为零向量 B. a ,

1 , 2 , 1a 2b 0 D. 存在不全为零的实数

a 与 b 既可同向，又可反向，故A项不一定成立； 【解析】 选项A中，a∥b 时，b 有一个为0 ,一定有a 与 b 共线，但是a 与b 共线 选项B中，若a ,

a 与 b 可能都不为 0 ,故B项不一定成立； 时，b 0 时， a∥b ,但不存在 R 使b a , 选项C中，若a 0 , …… 此处隐藏：1778字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……