概率统计习题册答案

一、概率公式的题目

1、已知()()()0.3,

0.4,0.5,P A P B P AB === 求().P B A B ⋃ 解：()()()()()()()()0.70.510.70.60.54P A P AB P AB P B A B P A B P A P B P AB --⋃=

===+-⋃+-

2、已知()()()0.7,0.4,0.2,P A P B P AB === 求().P A A B ⋃ 解：

()()()()()()()0.220.70.29P A A B P AB P A A B P A B P A P B P AB ⎡⎤⋃⎣⎦⋃====+⋃+-。

3、已知随机变量(1)X P ，即X 有概率分布律{}1

(0,1,2)!e P X k k k -===，

并记事件{}{}2,1A X B X =≥=<。 求：（1）()P A B ⋃； （2） ()P A B -； （3） ()P B A 。解：（1）()()

{}{}111()12,1111P A B P A B P AB P X X P X e -⋃=-⋃=-=-<≥=-==-； （2）(){}{}{}{}1

()2,1210112;P A B P AB P X X P X P X P X e --==≥≥=≥=-=-==- （3）()()

(){}{}{}{}{}111,201.20122P BA P X X P X e P B A P X P X P X e P A --<<======<=+=

4、甲、乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被命中，它是甲射中的概率是多少？

解： 设A=“甲射击一次命中目标”，B=“乙射击一次命中目标”，

(())()()()()()()P A A B P A P A A

B P A B P A P B P AB 侨==+-=0.660.750.60.50.60.58==+-

5、为了防止意外，在矿内同时设两种报警系统,A B ，每种系统单独使用时，其有效的概率系统A 为0.92，

系统B 为0.93，在A 失灵的条件下，B 有效的概率为0.85，求：

（1）发生意外时，这两个报警系统至少有一个有效的概率；（2）B 失灵的条件下，A 有效的概率。 解：设=A “系统A 有效”,=B “系统B 有效”,

()()()

0.92,0.93,0.85P A P B P B A ===, ()()()()()()()()()()1.0.988P A B P A P B P AB P A P AB P A P A P B A ⋃=+-=+=+=

()()()()()()()()()()()0.070.080.152.0.8290.07P AB

P B P A P B A P B P AB P A B P B P B P B ---⨯=====

6、由长期统计资料得知，某一地区在4月份下雨（记作事件A ）的概率为

415，刮风（记作事件B ）的概率为715，既刮风又下雨的概率为110

，求()()()(1);(2);(3)P A B P B A P A B ⋃。 解：()()()1310(1)71415

P AB P A B P B ===； ()()()1310(2)48

15

P AB P B A P A === ()()()()47119(3)15151030

P A B P A P B P AB ⋃=+-=

+-=。

二、已知密度（函数）求概率的题目

1、某批晶体管的使用寿命X(小时)的密度函数 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≥=100

0100100)(2x x x x f ，　，　，

任取其中3只，求使用最初150小时内，无一晶体管损坏的概率。

解：任一晶体管使用寿命超过150小时的概率为

设Y 为任取的5只晶体管中使用寿命超过150小时的晶体管数，则)3

2,3(~B Y .故有

2、某城市每天耗电量不超过一百万千瓦小时，该城市每天耗电率（即每天耗电量/百万瓦小时）是一个

随机变量X ，它的分布密度为()()⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其他0101122x x x x f ，

若每天供电量为80万千瓦小时，求任一天供电量不够需要的概率？

解：每天供电量80万千瓦小时，所以供给耗电率为：80万千瓦小时/百分千瓦小时=0.8，供电量不够需

要即实际耗电率大于供给耗电率。所以

{}()()112

0.80.80.81210.0272P X f x dx x x dx >==-=⎰⎰。

3、某种型号的电子管的寿命X （以小时计）具有以下的概率密度

⎪⎩⎪⎨⎧>=其它010001000)(2

x x x f ，

现有一大批此种管子（设各电子管损坏与否相互独立），任取5只，问其中至少有2只寿命大于 1500小时的概率是多少？

3

2100100)()150(1501502150=-===>=∞+∞+∞+⎰⎰　　　　　　x dx x dx x f X P p 278)31()32()3(0333=⋅==C Y P

解：一个电子管寿命大于1500小时的概率为

32)321(1)1(1000110001)1500(1)1500(15001000150010002=--=⎭⎬⎫⎩⎨⎧--=-

=≤-=>⎰x dx x X P X P

令Y 表示“任取5只此种电子管中寿命大于1500小时的个数”。则)3

2,5(~B Y ，{}24323224311132511)31()32()31(1)1()0(1)2(1)2(5

4155=-=⨯+-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⋅⋅+-==+=-=<-=≥C Y P Y P Y P Y P

4、某些生化制品的有效成分如活性酶，其含量会随时间而衰减。当有效成分的含量降至实验室要求的有效计量下，该制品便被视为失效。制品能维持其有效剂量的时间为该制品的有效期，它显然是随机变量，记为X 。多数情况下，可以认为X 服从指数分布。设它的概率密度函数为：

⎩

⎨⎧≥<=-0,0,0)(x e x x f x λλ （x 的单位为月） （1）从一批产品中抽取样品，测得有50％的样品有效期大于３4个月，求参数λ的值。

（2）若一件产品出厂12个月后还有效，再过12个月后它还有效的概率有多大？

解：指数分布的分布函数为{}⎩⎨⎧<≥-=≤=-00

01x x e x X P x F x λ）（ （１）{}34ln 2341(34)0.5,0.0234

P X F e λλ->=-===≈解出 （２）{}{}{}787.0122412421202.01202.024

02.0===>>=>>⨯-⨯-⨯-e e

e X P X P X X P

5、设K 在（-1，5）上服从均匀分布，求x 的方程2

4420x Kx K +++=有实根的概率。

解：要想x 有实根，则()224161620B AC K K ∆=-=-⨯+≥则2K 1K ≥≤-或者， 又因为()~1,5K U -

三、分布函数、密度函数的题目

1、设随机变量X 的分布函数为0()arcsin

1x a x F x A B a x a

a x a

≤-⎧

⎪⎪

=+-<≤⎨⎪

>⎪⎩

，

(1) 求系数A ，B ； (2) 求2

2a

a P X ⎧⎫-

<<⎨⎬⎩⎭； (3) 求X 的分布密度。 …… 此处隐藏：1582字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……