偏导数的定义及其计算法

偏导数的定义及其计算法

§8.2 偏 导 数

一、偏导数的定义及其计算法 二、高阶偏导数

偏导数的定义及其计算法

一、偏导数的定义及其计算法偏导数的定义 设函数z=f(x, y)在点(x0, y0)的某一邻域内有定义, 若极限

f (x0 + x, y0) f (x0, y0) lim x x→0 存在, 则称此极限为函数z=f(x, y)在点(x0, y0)处对x的偏导数, 记作

f z x=x0 , x=x0 , zx x y= y0 x y= y0

x=x0 y= y0

, 或 fx(x0, y0).

类似地, 可定义函数z=f(x, y)在点(x0, y0)处对y的偏导数.>>>

偏导数的定义及其计算法

一、偏导数的定义及其计算法偏导数的定义

f (x0 + x, y0) f (x0, y0) . f x(x0, y0) = lim x x→0 偏导数的符号

f z x=x0 , x=x0 , zx x y= y0 x y= y0偏导函数

x=x0 y= y0

, fx(x0, y0) .

如果函数z=f(x, y)在区域D内每一点(x, y)处对x的偏导数 都存在, 那么f(x, y)对x的偏导数是x、y的函数, 这个函数称为 函数z=f(x, y)对x的偏导函数(简称偏导数), 记作 z , f , z , 或 f (x, y) . x x x x

偏导数的定义及其计算法

一、偏导数的定义及其计算法偏导数的定义

f (x0 + x, y0) f (x0, y0) . f x(x0, y0) = lim x x→0 偏导数的符号

f z x=x0 , x=x0 , zx x y= y0 x y= y0偏导函数

x=x0 y= y0

, fx(x0, y0) .

f (x+ x, y) f (x, y) . fx(x, y) = lim x x→0 偏导函数的符号 z , f , z , 或 f (x, y) . >>> x x x x

偏导数的定义及其计算法

偏导函数

f (x0 + x, y0) f (x0, y0) . f x(x0, y0) = lim x x→0 f (x+ x, y) f (x, y) . fx(x, y) = lim x x→0

偏导数的概念还可推广到二元以上的函数. 例如, 三元函数u=f(x, y, z)在点(x, y, z)处对x的偏导数定义 为

f (x+ x, y, z) f (x, y, z) , fx(x, y, z) = lim x x→0 其中(x, y, z)是函数u=f(x, y, z)的定义域的内点.

偏导数的定义及其计算法

偏导函数

f (x0 + x, y0) f (x0, y0) . f x(x0, y0) = lim x x→0 f (x+ x, y) f (x, y) . fx(x, y) = lim x x→0

偏导数的求法 求函数对一个自变量的偏导数时, 只要把其它自变量看 作常数, 然后按一元函数求导法求导即可. 讨论: 下列求偏导数的方法是否正确？

fx(x0, y0) = fx(x, y) x=x0 , fx(x0, y0) =[ d f (x, y0)] x=x ; 0 y= y0 dx f y(x0, y0) = f y(x, y) x=x0 , f y(x0, y0) =[ d f (x0, y)] y= y0 . dy y= y0

偏导数的定义及其计算法

fx(x0, y0) = fx(x, y) x=x0 , fx(x0, y0) =[ d f (x, y0)] x=x ; 0 y= y0 dx f y(x0, y0) = f y(x, y) x=x0 , f y(x0, y0) =[ d f (x0, y)] y= y0 . dy y= y0例1 求z=x2+3xy+y2在点(1, 2)处的偏导数. 解 z =2x +3y , z = 3x+2y . y x

z x

=2 1+3 2 =8 , z x=1 y y=2

x=1 = 3 1+2 2 = 7 . y=2

例2 求z=x2sin2y的偏导数.

z =2xsin 2y , z =2x2 cos 2y . 解 y x

偏导数的定义及其计算法

例3 设 z = xy(x > 0, x ≠1) , 求证: x z + 1 z =2z . 3 y x ln x y 证 z = yx y 1 , z = x y ln x . y x x z + 1 z = x yx y 1 + 1 x y ln x = x y + x y =2z . y x ln x y y ln x 例4 求r = x2 + y2 + z2 的偏导数. 4

y y x x ; r = 解 r = = . = 2 2 2 2 2 2 r y x x + y +z r x + y +z

偏导数的定义及其计算法

例5 已知理想气体的状态方程为pV=RT(R为常数), 求证:

p V T = 1. V T p 证 因为 p= RT , p = RT ; V V V2 RT V = R V= , ; p T p pV T V = ; , T= p R R

p V T = RT R V = RT = 1 . 所以 pV V T p V 2 p R 本例说明一个问题: 偏导数的记号是一个整体记号,不能 看作分子分母之商.

偏导数的定义及其计算法

偏导数的几何意义 fx(x0, y0)=[ f(x, y0)]x′ 是截线z=f(x, y0)在点(x0, y0)处的切线Tx 对x轴的斜率. fy(x0, y0)=[ f(x0, y)]y′ 是截线z=f(x0, y)在点(x0, y0)处的切线Ty 对y轴的斜率.z=f(x, y0) z=f(x0, y)

偏导数的定义及其计算法

偏导数的几何意义

偏导数的定义及其计算法

偏导数与连续性 对于多元函数来说, 即使各偏导数在某点都存在, 也不能 保证函数在该点连续. 例如

xy 2 2 x2 + y2 ≠ 0, f (x, y) = x + y 0 x2 + y2 = 0. 在点(0, 0), 有fx(0, 0)=0, fy(0, 0)=0, 但函数在点(0, 0)并不连续.

提示：当点P(x, y)沿直线y=kx趋于点(0, 0)时, 有 xyf (0, y) = 0 ; kx2 k . f (lim ) = 0 , x, 0 = lim = 2 2 x→0 2 2 2 (x, y)→(0,0) x + y x +k x 1+k 2 d y=kx fx(0, 0) = d [ f (x, 0)] = 0 , f y(0, 0) = [ f (0, y)] = 0 . dy 因此, 函数f(x, y)在(0, 0)的极限不存在, 当然也不连续. dx

偏导数的定义及其计算法

二、高阶偏导数二阶偏导数 如果函数z=f(x, y)的偏导数fx(x, y)、fy(x, y)也具有偏导数, 则它们的偏导数称为函数z=f(x, y)的二阶偏导数. 函数z=f(x, y)的二阶偏导数有四个:

( z ) = 2z = f (x, y) , ( z ) = 2z = f (x, y) , y x x y xy x x x2 xx ( z ) = 2z = f (x, y) z 2z , ( ) = 2 = f yy(x, y) . yx x y y x y y y 其中fxy(x, y)、fyx(x, y)称为混合偏导数.类似地可定义三阶、四阶以及n阶偏导数.

偏导数的定义及其计算法

( z ) = 2z z 2z ( z ) = 2z , ( z ) = 2z . , , ( )= 2 x x x y x x y x y y x y y y2 2z 、 3z 、 2z 和 2z . 例 6 设 z=x y 3xy xy+1, 求 2 x x3 y x x y 解 z = 3x2 y2 3y3 y , z = 2x3 y 9xy2 x ; y x 2z = 6xy2 , 3z = 6y2 ; x3 x23 2 3

2z = 6x2 y 9y2 1 2z = 6x2 y 9y2 1 , . x y y x此例中两个混合偏导数是相等的.

偏导数的定义及其计算法

( z ) = 2z z 2z ( z ) = 2z , ( z ) = 2z . , , ( )= 2 x x x y x x y x y y x y y y2 2z 、 3z 、 2z 和 2z . 例 6 设 z=x y 3xy xy+1, 求 2 …… 此处隐藏：2086字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……