2014届高考数学二轮复习_专题三_三角函数、三角恒等变换与解三角形课件

时间：2025-04-28

—— 基础知识必备 ——

三角函数专题复习3: 三角恒等变换与解三角形

—— 基础检测 ——核心知识聚焦

1.(2010· 福建卷改编 ) sin 43cos 13-sin 13cos 43 =

1 2

2. (2012· 陕西卷改编) 设向量 a=(1, cosθ ) 0 与 b = ( 1,2 cosq ) 垂直,则 cos 2q =___ (2012· 重庆卷改编)设tan tanβ 是方程 x 2 3x 2 0 3. 的两个根，则 tan( )的值为 ________ -31 4. (2012· 江西卷改编)若 sinα + cosα = sin α - cosα 2, 3 则 tan 2α = ________ 4 天津卷改编 ] 在△ ABC 中，内角 A,B,C 5 .[2012·所对的边分别是a,b,c . 则 cos7 . C = ________ 25

已知 8b=5c. C=2B.

考向一

高考中三角恒等变换的常见问题

考向：利用三角恒等变换公式(同角三角函数关系、诱导公式、两角和差公式、倍角公式等)求解三角函数值，对三角函数式进行恒等变换等.命题考向探究

例 1 (1)[2013· 重庆卷] 4cos 50°-tan 40°=( C ) 2+ 3 A. 2 B. C. 3 D.2 2-1 2 (2)[2013· 浙江卷] 已知 α∈R,sin α +2cos α = tan 2α =( C ) 4 3 A. B. 3 4 3 C.- 4 4 D.- 3 10 ,则 2

sin 40° [ 解析 ] ( 1 ) 原式 = 4sin 40 ° - = cos 40° 4sin 40°cos 40°-sin 40° 2sin 80°-sin 40° = = cos 40° cos 40°命题考向探究

2cos (40°-30°)-sin 40° = cos 40° 2(cos 40°cos 30°+sin 40°sin 30°)-sin 40° cos 40° 3cos 40° = = 3, cos 40° 故选 C.

10 2 ) ,得 sin2α +4sin α 2 10 5 5 2 2 cos α +4cos α = = ,4sin α cos α +1+3cos α = ,2sin 2α 4 2 2 1+cos 2α 5 3cos 2α +1+3× = ,故 2sin 2α =- ,所以 tan 2α = 2 2 2 3 - ,选择 C. 4 (2)由(sin α +2cos α )2=(

三角恒等变换方法总结：掌握两角的和差及倍角公式的正用，逆用和变用。 (1)化同名： “切割化弦” , “1 的代换”等技巧；

命题考向探究

如齐次式。 (2)化同角：减少未知角或把未知角用已知角表示。其核心是角的变化，如保角变换等； (3)化同次：一般是降次。

注意：通过角的范围确定函数值得符号.

考向二：根据正弦定理、余弦定理解三角形. 例 2 [2013· 新课标全国卷Ⅰ] 已知锐角△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,23cos2 A+cos 2A=0, a=7,c=6,则 b=( D ) A.10 B.9 C.8 D.5练习：实际应用命题考向探究

例 3 某湖畔有四棵高大的银杏树，记作 A,B,P,Q,欲测量 P,Q 两棵树和 A,P 两棵树之间的距离，但湖岸部分地方围有铁丝网不能靠近.现在可以方便的测得 A,B 两点间的距离为 AB=100 m,如图 3-8 -1 所示，同时也能测量出∠PAB=75°, ∠QAB=45°, ∠PBA=60°, ∠QBA=90°,求 P,Q 两棵树和 A,P 两棵树之间的距离.

命题考向探究

解：

( 1)在△PAB 中，∠APB=180°-( 75°+60°)= 45 AP AB °,由正弦定理 = AP=50 sin 60° sin 45° ∴ AQ= 100 ( 50 6.

( 2) 在△QAB 中， ∠ ABQ= 90°, ∠QAB= 45°, AB= 100, 2.∠PAQ=75°- 45°= 30°,由余弦定理 PQ2= 2) 2- 2· 50 2. 2 m,A,P 两棵树之间 6· 100 2cos 30°= 5 000, 6) 2+( 100

∴ PQ= 5 000= 50 的距离为 50 6 m.

答：P,Q 两棵树之间的距离为 50

小结：1.求解三角形搞清楚：角化边，边化角。2.把握余弦定理公式及变形公式：b2 c2 a 2 (1)a b c 2bc cos A cos A 2bc (2)b 2 c 2 a 2 2bc cos A2 2 2

注意利用三角形本身固有性质解题：(1) 结合大边对大角进行取舍。a b A B sin A sin B(2) ABC中利用A B C 可得以下变换 sin( A B) sin C , cos(A B) cosC , tan(A B) tanC A B C A B C A B C sin( ) sin , cos( ) cos , tan( ) tan 2 2 2 2 2 2

考向三

三角函数与解三角形的综合

三角函数与解三角形的综合、在三角形中进行三角恒等变换、在三角形中研究三角函数的性质等.命题考向探究

x x 2 x 例 3 已知向量 m=( 3sin ,1) ,n=(cos ,cos ) 4 4 4 记 f(x)=m· n. 2π 3 (1)若 f(α)= ,求 cos( -α)的值； 2 3 (2)在△ABC 中，角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c, 1+ 3 且满足(2a-c)cos B=bcos C,若 f(A)= , 2 试判断△ABC 的形状.

x π 1 x x 3 x 1 x 1 2x 解：f(x)= 3sin4cos4+cos 4= 2 sin2+2cos2+2=sin + +2. 6 2 α π 1 3 3 (1)由已知 f(α)= 得 sin + + = , 2 6 2 2 2 2π 于是 α=4kπ + ,k∈Z, 3 2π 2π 2π ∴cos( -α)=cos( -4kπ - )=1. 3 3 3

命题考向探究

(2)根据正弦定理得， (2a-c)cos B=bcos C (2sin A-sin C)cos B=sin Bcos C 即 2sin Acos B=sin(B+C)=sin A π 1 即 cos B= B= . 2 3 ∵f(A)= 2 , A π ∴sin + 6 2 1 1+ + = 2 2

1+ 3

2π ∵0<A< 3 π ∴A= ,因此△ABC 为等边三角形. 3

3 3 π A sin + = 2 6 2 A A ( 0 , ) ∴2 3 ∴ 2 2 6 3

三角问题规律方法：一、是三角形中有关边角互化的问题。

命二、凡是三角公式变换的问题都可以从分析角、函数类型题考和基本函数性质这三个方面的差异作为入手解题的突破口。向探究三、体现数形结合，转化化归，函数方程、不等式的思想方法。

10. 在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c, 已知向量m=(cos A,cos B),n=(2c+b,a),且m⊥n. (1)求角A的大小； (2)若a=4,求△ABC面积的最大值.

解：( 1 ) m n

m n (2c b) cos A a cos B 0

(2 sin C sin B) cos A sin A cos B 0 2 sin C cos A sin( A B ) 0 1 2 cos A A 2 3

( 2)由余弦定理得：面积S a 2 b2 1 3 b c sin A bc 2 4 c 2 2b c co s A

b2 c2 bc 16 b 2 c 2 1 6 b c 2b c bc 16 4 3 S 3 3

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