高数5-1 不定积分的概念与性质

第五章 不 定 积 分

indefinite integral

已会求已知函数的导数和微分的运算. 常要 解决相反的问题, 就是已知函数的导数或微分, 求原来那个函数的问题. 例如 1. 已知某曲线的切线斜率为2x, 求此曲线的方程.

2. 某质点作直线运动,已知运动速度函数

v at v0 , 求路程函数.本章研究微分运算的逆运算

不定积分.1

第一节

不定积分的概念与性质

一、原函数与不定积分的概念 二、不定积分的几何意义 三、基本积分表 四、不定积分的性质 五、小结第五章 不定积分2

不定积分的概念与性质

一、原函数与不定积分的概念几何问题

引例 设某曲线上任一点处的切线斜率都等于该切点处横坐标的两倍 求曲线的方程. 解 设曲线方程为 y f ( x ), y 2 x , 满足此条件的函数有无穷多个,如2 y x 1, y x , y x 1, 等都是. 一般, 所求曲线方程为 2 2

y

CO

y x 2 C , C为任意常数.

x3

不定积分的概念与性质

1. 原函数定义1 如果在区间I上, F ( x ) f ( x ) 或 dF ( x ) f ( x )dx , 则称 F ( x )为f ( x )在I上的 一个原函数.

例 (sinx ) cos x 或由 d sin x cos xdx 知

F ( x ) sinx 是 f ( x ) cos x 在( , )上的一个原函数. F ( x ) C sin x C 也是 f ( x ) cos x 的原函数,其中C 为任意常数.4

C

C

不定积分的概念与性质

定理 原函数存在定理： I 内连续， 如果函数 f ( x ) 在区间 那么在区间I 内存在可导函数 F ( x ) , 使 x I ,都有F ( x ) f ( x ) .

简言之：连续函数一定有原函数.问题： (1) 原函数是否唯一？ (2) 若不唯一，它们之间有什么联系？ 例 sin x cos x sin x C cos x ( C为任意常数)5

不定积分的概念与性质

2. 不定积分

, 则f ( x )的 定义2 设F ( x )是f ( x )的任一原函数全部原函数的一般表达式 F ( x ) C称为函数f (x)的不定积分.记为 f ( x )dx

f ( x ) dx F ( x ) C积 分 常 数6

积 被 被 积 分 积 积 分 号 函 表 变 数 达 量 式

不定积分的概念与性质

f ( x ) dx d F ( x ) C1. 被积函数是原函数的导数, 被积表达式是 原函数的微分. 2. 不定积分表示那些导数等于被积函数的所 有函数.因此绝不能漏写积分常数C. 3. 求已知函数的原函数或不定积分的运算称 为积分运算, 它是微分运算的逆运算.

不定积分的概念与性质

例1 求 x 5dx .6 F ( x) x 解 x x 5 C x 5dx

6

6

6

例2.求 cosxdx 解： cos xdx sin x C例3. 求 e x dx

e dx e x Cx

不定积分的概念与性质

二、基本积分公式实例

1

x

1

x x dx

x

1

1 ( 1)

C

启示 能否根据求导公式得出积分公式 结论 积分运算和微分运算是互逆的， 求导公式 积分公式.要判断一个不定积分结果是否正确,只要 将右端的函数求导,看是否等于被积函数.9

不定积分的概念与性质

基本积分公式

1.常量函数

kdx kx Cx x dx 1 C 1 , 1

2.幂函数

1 x dx ln x C

3.指数函数

a x x a dx ln a C , 特殊情形 e dx e Cx

x

5.三角函数

sin xdx cos x C , cos xdx sin x C ,

不定积分的概念与性质

利用基本积分公式,可求出一些简单函数的不定积分, 称为 直接积分法.

例4求积分

2dx 2 x C 3dx 3 x C

xdx

1 2 x C 2

x 2dx 1 x 3 C x dx 1 x 4 C 43

3

例5.求积分

1 dx 2 x

x dx x C 2 4

1

1 dx 4 x

1 3 x dx x C 3 1 3 2 2 2 xdx x dx x C 3 5 2 3 3 3 3 2 x C x dx x dx 512

例6.求积分

1 x

dx

x

1 2

dx 2 x 2 3

1 2

C1 3

13

x

2

dx

x

dx 3 x

C

不定积分的概念与性质

三、不定积分的性质由不定积分的定义 (1) f ( x )dx x f ( x ) 或 d [ f ( x )dx ] f ( x)dx

F ( x )dx F ( x ) C 或 dF ( x ) F ( x ) C( 2)

[ f ( x ) g( x )]dx f ( x )dx g( x )dx; kf ( x )dx k f ( x )dx.( k 是常数， k 0)14

(此性质可推广到有限多个函数之和的情况)

(3)

不定积分的概念与性质

3 x 1 1 例7求积分 x 3 3 dx . x x 3 x 1 1 解 x 3 3 dx . x x 1 3 x 3 x dx 3 dx x dx dx x x 3 1 3 x x 3 1 ln x C . 3 1 ln 3 3 1x4 3x x 2 ln x C . 4 ln 3 2

不定积分的概念与性质

例8求下列不定积分

x 2 1 x 1 d x x 2 x 1 dx x x C 322

3

5 3 x 2x 5 dx x 2 dx 2 x x 4 x 2 x 5 ln x C 4 x 15 x x x 3 3 5 dx 15 dx ln15 C416