人教版高中数学-例谈两大概型与其它知识的交汇

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精校版 例谈两大概型与其它知识的交汇

概率已成为新高考的重点和热点内容,由于概率比较容易与其它知识相结合出一些综合性试题,而且创新型试题不断涌现.下面就一些常见的综合题略作介绍.

1.方程与几何概型

例1.在区间[-1,1]上任取两数a 、b ，求二次方程x 2+ax+b=0的两根．

(1)都是实数的概率；

(2)都是正数的概率．

分析：首先需要把方程解的问题转化为可以用随机数模拟试验的概率模型．

解：根据题意-l ≤a ≤l ，-l ≤b ≤l ，以a 为横坐标，b 为纵坐标，得到一个边长为2的正方形．

(1)若a 、b 都是实数，则Δ＝a 2-4b ≥0，即b ≤

41a 2，利用随机模拟求概率． ①利用计算机或计算器产生a=a i *2-1，b ＝b i *2-1；

③数出满足b ≤4

1a 2的数组数N 1. 则所求概率为N

N 1(N 为总数组)，参考答案为0.54. (2)若两根都是正数，则有⎪⎩⎪⎨⎧>=>-=+≥-=∆,0,0,042

1212b x x a x x b a 即b ≤41a 2且a ＜0，b ＞0. 在第(1)问求出的随机数中数出满足b ≤4

1a 2且a ＜0，b ＞0的数组数N 2，则所求概率为N

N 2， 答案为0. 02 1.

点评：仔细体会本题如何将解方程的问题转化到几何概型，并利用随机模拟法解答．

2.集合与几何概型

例2.已知集合A={(x,y)|x 2+y 2=1｝，集合B={(x,y)|x+y+a=0｝,若A ∩B ≠∅的概率为1，则a 的取值范围是 .

分析：若A ∩B ≠∅的概率为1，则集合A 与B 有公共元素，

∴⎩⎨⎧=++=+,

0,122a y x y x ∴2x 2+2ax+a 2-1=0有实数根，∴Δ=4a 2-8(a 2-1)≥0，

∴ -22≤

≤a . 答案: [- 2,2].

点评：由A ∩B ≠∅是必然事件，说明直线和圆必相交，也可以利用圆心(0,0)到直线l ：